13、量子纠缠的判定准则：从理论到实践

量子纠缠的判定准则：从理论到实践

一、可分性与纠缠问题概述

在量子力学中，可分性与纠缠问题是核心研究内容之一。对于两个向量 (x) 和 (y)，当且仅当 (x = Dy)（其中 (D) 是双随机矩阵）时，有 (x \prec y)。而且，(x \prec y) 意味着 (H({x_i}) \geq H({y_i}))，这表明量子力学允许存在全局无序度大于局部无序度的状态，即使是在优超的意义下。

同时，满足特定方程的密度矩阵会自动满足另一个相关方程，在这个意义上，某些定理之间存在推广关系。

二、非操作纠缠判据

2.1 技术前言

在深入探讨纠缠判据之前，有两个重要的技术点需要了解：
- 引理 8.1 ：(tr(\rho_{TA}^{AB}\sigma_{AB}) = tr(\rho_{AB}\sigma_{TA}^{AB}))。
- 观察 ：作用于希尔伯特空间 (H) 的线性算子空间 (B(H)) 本身也是一个希尔伯特空间，其（欧几里得）标量积为 (\langle A|B\rangle = tr(A^{\dagger}B))，(A, B \in B(H))。这个标量积等价于将 (A) 和 (B) 按行写成向量并进行标量乘法，即 (tr(A^{\dagger}B) = \sum_{ij} A_{ij}^ B_{ij} = \sum_{k = 1}^{(dim H)^2} a_k^ b_k)。

2.2 纠缠见证

2.2.1 基于哈恩 - 巴拿赫定理的纠缠见证