泛函分析基础10-巴拿赫空间中的基本定理2：C[a,b] 的共轭空间【里斯表示定理】

前面我们已经讨论过一些空间的共轭空间，如${\left(l^1\right)}^{\prime }=l^{\ast },{\left(l^p\right)}^{\prime }=l^q,$其中 $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1,$$p>1.$ 这一节我们要找出 $[a,b]$ 上连续函数所构成的空间$C[a,b]$ 的共轭空间这是里斯
的著名工作，它也可以看作是哈恩一巴拿赫定理的一个重要应用.

设 $g(t)$ 是区间 $[a,b]$ 上的有界变差函数，${\mathrm{V}}_a^b(g)$ 为 $g(t)$ 在 $[a,b]$上的全变差，由第六章 $\mathrm{S}$ 5定理2，积分${\int }_a^{b}f(t)\mathrm{d}g(t)$ 存在，其中$f\in C[a,b],$ 读者不难证明

$$\left|{\int }_a^{b}f(t)\mathrm{d}g(t)\right|⩽\underset{a<i<b}{\max }|f(t)|\cdot \mathrm{V}(g)=\Vert f\Vert \cdot {\mathrm{V}}_a^b(g).(1)$$

作 $C[a,b]$ 上泛函

$$F(f)={\int }_a^{b}f(t)\mathrm{d}g(t),f\in C[a,b],(2)$$

由第六章 $\mathrm{S}$ 5定理1， $F$ 是 $C[a,b]$上线性泛函，由(1)式可知， $F$ 是 $C[a,b]$ 上连续线性泛函，并且 $\Vert F\Vert ⩽{\mathrm{V}}_a^b(g).$我们自然会问： $C[a,b]$ 上任何一个连续线性泛函 $F$ 是否都可以对应一个有界变差函数 $g,$使得(2)成立？回答是肯定的，这就是下面的里斯表示定理。

定理（里斯表示定理）

$C[a,b]$ 上每一个连续线性泛函 $F$都可以表示成为

$$F(f)={\int }_a^{b}f(t)\mathrm{d}g(t),f\in C[a,b],(3)$$

其中 $g(t)$ 是 $[a,b]$ 上有界变差函数，并且$\Vert F\Vert ={\mathrm{V}}_a^b(g).$

证明
在寻找空间 $X$ 的共轭空间 $X^{\prime }$ 的 表示时，我们总是先找出$X$ 的 一组基 {ek}\left\{ e _ { k } \right\}{ek​} 的表示，然后作线性组合取极限以达到完全的表示.在函数空间中，通常用区间$[a,t]$ 的特征函数作为基，由它生成阶梯函数，再去逼近某些函数类.对连续函数空间，我们也采取同样的路线，但是特征函数一般不连续，因而不属于 $C[a,b],$故我们先把 $C[a,b]$上泛函 $F$ 保范地延拓到有界函数空间 $B[a,b]$ 上，而阶梯函数属于$B[a,b],$ 然后再用阶梯函数去逼近连续函数，最后找到 $C[a,b]$ 共轭空间的一般表示.

我们知道，在 $B[a,b]$ 和 $C[a,b]$ 中都用范数$\Vert f(t)\Vert ={\sup }_{t\in [a,b]}|f(t)|,$ 故$C[a,b]$ 可以看成是 $B[a,b]$ 的子空间.为简单起见，我们只考虑实空间$C[a,b]$ 和B[a,b].由哈恩-巴拿赫定理知， $F$ 可以保范地延拓成为 $B[a,b]$ 上连续线性泛函$\tilde{F},$ 使得当 $F\in C$$[a,b]$ 时，有 $\bar{F}(f)=F(f),$ 且$\Vert \tilde{F}\Vert =\Vert F\Vert .$

考虑 $[a,t]$ 上特征函数 $X_i,$ 当 $s\in [a,t]$ 时，${\chi }_t(s)=1,$ 对其余的 $s,X_t(s)=0.$ 显然$X_t\in$
$B[a,b].$ 用 $\tilde{F}$ 在 $X_t$ 上的值构造函数$g(t)$ 如下：$g(a)=0,g(t)=\tilde{F}\left(X_t\right),t\in (a,b].$下面证明 $g(t)$ 即为所求的有界变差函数.事实上，

(1)
$g(t)$ 是有界变差函数，这是因为对任意分划

$$T:a=t_0<t_1<\cdots <t_n=b,$$

有
$$\begin{array}{r}\sum _{j=1}^n\left|g\left(t_j\right)-g\left(t_{j-1}\right)\right|=\left|\tilde{F}\left({\chi }_{i_1}\right)\right|+\sum _{j=2}^n\left|\tilde{F}\left({\chi }_{i_j}\right)-\tilde{F}\left({\chi }_{i_{j-1}}\right)\right|\\ ={\epsilon }_1\tilde{F}\left({\chi }_{t_1}\right)+\sum _{j=2}^n{\epsilon }_j\left(\tilde{F}\left({\chi }_{t_j}\right)-\tilde{F}\left({\chi }_{t_{j-1}}\right)\right)\\ =\tilde{F}\left({\epsilon }_i{X}_{i_1}+\sum _{j=2}^n{\epsilon }_j\left({\chi }_{i_j}-{\chi }_{i_{j-1}}\right)\right)\\ ⩽\Vert \tilde{F}\Vert \Vert {\epsilon }_1{\chi }_{t_1}+\sum _{j=2}^n{\epsilon }_j\left({\chi }_{t_j}-{\chi }_{t_{j-1}}\right)\Vert =\Vert \tilde{F}\Vert ,\end{array}$$

其中${\epsilon }_1=\mathrm{sign}\tilde{F}\left({\chi }_{i_1}\right);{\epsilon }_j=\mathrm{sign}\left[\tilde{F}\left({\chi }_{i_j}\right)-\tilde{F}\left({\chi }_{i_{i-1}}\right)\right],j=2,3,\cdots ,n,$故 $g(t)$ 是 $[a,b]$ 上有界变差函数，且

$${\mathrm{V}}_a^b(g)=\underset{r}{\sup }\sum _{j=1}^n\left|g\left(t_j\right)-g\left(t_{j-1}\right)\right|⩽\Vert \tilde{F}\Vert .$$

(2)
设 $f(t)$ 为 $C[a,b]$ 中连续函数，对 $[a,b]$ 中分划

$$T:a=t_0<t_1<\cdots <t_n=b,$$

作阶梯函数

$$h_n(t)=f\left(t_0\right){\chi }_{t_1}(t)+\sum _{j=2}^{n}f\left(t_{j-1}\right)\left[X_{t_j}(t)-{\chi }_{t_{j-1}}(t)\right].$$

显然 $h_n\in B[a,b],$ 注意到$g\left(t_0\right)=g(a)=0,$ 所以

$$\begin{array}{r}\tilde{F}\left(h_n\right)=f\left(t_0\right)g\left(t_1\right)+\sum _{j=2}^{n}f\left(t_{j-1}\right)\left[g\left(t_j\right)-g\left(t_{j-1}\right)\right]\\ =\sum _{j=1}^{n}f\left(t_{j-1}\right)\left[g\left(t_j\right)-g\left(t_{j-1}\right)\right].\end{array}$$

当分划越来越细时，上式右端趋于${\int }_a^{b}f(t)\mathrm{d}g(t).$ 另一方面，因$f(t)$ 是连续函数，故 $f(t)$在 $[a,b]$ 上一致连续，易知，当分划越来越细时 $h_n(t)$ 在$[a,b]$ 上一致收敛于 $f(t),$ 即按$B[a,b]$ 中范数有$\Vert h_n-f\Vert \to 0(n\to \infty ),$由 $\tilde{F}$ 的连续性，$\tilde{F}\left(h_n\right)\to \tilde{F}(f).$
又因为在$C[a,b]$ 上， $\tilde{F}(f)=F(f),$ 故

$$F(f)=\tilde{F}(f)={\int }_a^{b}f(t)\mathrm{d}g(t).$$

根据(1)式，可知$\Vert F\Vert ⩽{\mathrm{V}}_a^b(g).$另一方面，由(1)的证明，又有

$${\mathrm{V}}_a^b(g)⩽\Vert \tilde{F}\Vert =\Vert F\Vert ,$$

所以 $\Vert F\Vert ={\mathrm{V}}_a^b(g).$

注意
定理中得出的 $g(t)$ 不一定是唯一的.但是如果规定 $g(t)$是正规化的有界变差函数，即需要满足 $g(a)=0$ 且 $g(t)$ 右连续，那么 $g(t)$ 可由 $F$ 唯一地决定