u013250861的博客

6。

数学分析研究的基本对象是定义在实数集上的函数. 为此, 我们先简要叙述实数的有关概念.## 一、实数及其性质在中学数学课程中, 我们知道实数由有理数与无理数两部分组成.有理数可用分数形式 pq(p,q\cfrac{p}{q}(p, qqp​(p,q 为整数, q≠0)q \neq 0)q=0) 表示,也可用有限十进小数或无限十进循环小数来表示;而无限十进不循环小数则称为无理数.有理数和无理数统称为实数.为了以下讨论的需要, 我们把有限小数 (包括整数) 也表示为无限小数.对此我们作如下规定: 对于正有限小

下面只证明性质 4 , 其余性质由读者自行证明.这就证明了性质 4 不等式的右半部分. 又由。根据性质 3 ,上式等价于。. 性质 4 得证.

本节中我们先定义 R\mathbf{R}R 中两类重要的数集一区间与邻域,然后讨论有界集,并给出确界定义和确界原理.设 a,b∈Ra, b \in \mathbf{R}a,b∈R, 且 a

设SSS是R\mathbf{R}R中的一个数集. 若数η\etaη(i) 对一切x∈Sx \in Sx∈S, 有x⩽ηx⩽η, 即η\etaη是SSS的上界;(ii) 对任何αηαη, 存在x0∈Sx0​∈S, 使得x0αx0​α, 即η\etaη又是SSS的最小上界,则称数η\etaη为数集SSS的上确界, 记作ηsup⁡SηsupS设SSS是R\mathbf{R}R中的一个数集. 若数ξ\xi。

给定两个实数集DDD和MMM, 若有对应法则fff, 使对每一个x∈Dx \in Dx∈D, 都有唯一的y∈My \in My∈M与它相对应, 则称fff是定义在数集DDD上的函数, 记作fD→M1x↦yfDx​→M1↦y​数集DDD称为函数fff的定义域xxx所对应的yyy称为fff在点xxx的函数值, 常记为fxf(x)fx. 全体函数值的集合fDy∣yfxx∈D⊂M。

在坐标平面上描绘出这个函数的图像. 这就是用图像法表示函数的依据.有些函数在其定义域的不同部分用不同的公式表达,这类函数通常称为。表示平面上的一个点,因而集合。, 其图像如图 1-1 所示.来表示. 在坐标平面上,集合。在中学课程里,我们已经知道。又可用有序数对的集合。

④：无法画出函数图像，但是函数图像客观存在。⑥：处处不连续，处处不可导，处处极限不存在。⑤：以任意正有理数为其周期，无最小正周期。②：值域不连续的函数，值域为｛0，1｝。有些函数只能用语言来描述, 如定义在。③：图像以Y轴为对称轴，偶函数。⑦：在任何区域内不可黎曼积分。⑧：一个处处不连续的可测函数。①：定义域为实数范围R上。

内的既约真分数【既约真分数：分子与分母互质的真分数】图 1-2 和图 1-3 分别是这两个函数的示意图.

给定两个函数fx∈D1​和gx∈D2​. 记DD1​∩D2​, 并设D∅. 我们定义f与g在DFxfxgxx∈DGxfx−gxx∈DHxfxgxx∈D​若在D中剔除使gx0的x值, 即令D∗D1​∩x∣gx0x∈D2​∣∅可在D∗上定义f与gLxgxfx​x∈D∗注 若DD1​∩D2​∅, 则。

(它们的定义域取为各自的存在域) 相继复合而得的复合函数为。复合函数也可由多个函数相继复合而成. 例如, 由三个函数。为内函数, 就不能进行复合. 这是因为外函数的定义域。才能进行复合. 例如, 以。. 这就确定了一个定义在。的复合运算也可简单地写作。

的表示式 (4)与 (5) 的形式不同, 但它们仍表示同一个函数, 因为它们的定义域都是。作为因变量的记号, 则函数 (3) 的反函数 (4) 可改写为。的关系往往是相对的. 有时我们不仅要研究。而变化的状况.对此,我们引人反函数概念.的一个上界, 所以由确界定理,的表示式 (4) 中, 是以。为因变量. 若按习惯, 仍用。, 只是所用变量的记号不同而已.次正根 (即算术根), 记为。上的函数, 称这个函数为。例如, 按习惯记法, 函数。而变化的状况,也要研究。为简单起见, 我们仅证。的反函数. 或者说,

给定实数a0a≠1a0a1. 设xxx为无理数, 我们规定axsup⁡r→∞ar∣r为有理数当a1时,inf⁡rxa′∣r为有理数当0a1时.\sup _{r \rightarrow \infty}\left\{a^{r} \mid r \text { 为有理数 }\right\}, \text { 当 } a>1 \text { 时, } \\

数学分析(一)-实数集与函数03-函数概念06-初等函数01：幂函数(xᵃ)【a为实数】【a为正整数：x、x²、x³】【a为负整数：】

0a1。

对数函数一形式为ylog⁡axa0a≠1yloga​xa0a1，对数函数的定义域为:0∞0∞。

log函数是：以1为分界，将a分成两部分（a大于1，和a小于1），也就是上面的红线和蓝线；以1为分界，x被分为两部分（x大于1，和x小于1），由于y与x存在直接的函数关系，因此y是正是负，也是由x的确定的。有些函数在数学上定义是成功的，但在现实中不成立，这一类函数通常研究的价值不大。由上面的规律，我们可以简单总结如下：只有a和x都同时大于1或同时小于1时，y才为正数；对数函数中，当a大于1时，a越大，图像越贴近于x轴。无论是以2为底，以10为底，还是以e为底，函数图像都是相似的：单调递增。

高中数学，三角函数的图像与性质系统化，轻快学习高中数学三角函数的图像、性质及其变换必备知识精准狠——三角函数图像及其性质

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正切函数 y=tan⁡xy=\tan xy=tanx 在开区间 (x∈(−π/2,π/2))(x \in(-\pi / 2, \pi / 2))(x∈(−π/2,π/2)) 的反函数，记作y=arctan⁡xy=\arctan xy=arctanx 或 y=tan⁡−1xy=\tan ^{-1} xy=tan−1x ，叫做反正切函数。由于正切函数 y=tan⁡xy=\tan xy=tanx 在定义域R上不具有一一对应的关系，所以不存在反函数。引进多值函数概念后，就可以在正切函数的整个定义域(x∈R(x \i

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在本节中, 我们将介绍以后常用到的几类具有某些特性的函数.一、有界函数定义 1 设 fff 为定义在 DDD 上的函数. 若存在数 M(L)M(L)M(L), 使得对每一个x∈Dx \in Dx∈D, 有f(x)⩽M(f(x)⩾L),f(x) \leqslant M(f(x) \geqslant L),f(x)⩽M(f(x)⩾L),则称 fff 为 DDD 上的有上 (下) 界函数, M(L)M(L)M(L) 称为 fff 在 DDD 上的一个上(下) 界.根据定义, fff 在 DDD 上有

设fff为定义在DDD上的函数. 若对任何x1x2∈Dx1​x2​∈D, 当x1x2x1​x2​时, 总有(i)fx1⩽fx2fx1​⩽fx2​, 则称fff为DDD上的 (递) 增函数, 特别当成立严格不等式fx1fx2fx1​fx2​时, 称fff为DDD上的严格 (递) 增函数;(ii)fx1⩾fx2fx1​⩾fx2​, 则称fff为DD。

设DDD为对称于原点的数集,fff为定义在DDD上的函数. 若对每一个x∈Dx \in Dx∈D, 有f−x−fxf−xfxf−x−fxf−xfx则称fff为DDD上的奇 (偶) 函数.从函数图形上看,奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像则关于yyy轴对称.例如, 正弦函数ysin⁡xy=\sin xysinx和正切函数ytan⁡xy=\tan xytanx是奇函数, 余弦函数ycos⁡。

的所有周期中有一个最小的周期, 则称此最小周期为。是以任何正数为周期的周期函数, 但不存在基本周期.的周期为 1 (见图 1-6).的一个周期. 显然, 若。的周期. 若在周期函数。的基本周期,或简称周期.

数列是定义在离散数集上的函数，是的基础，也是定义极限的基础。由可以引出，进一步引出，再到。中学阶段，我们需要了解数列的定义，并通过两类特殊数列和，体会数列问题的一般研究思路，掌握数列问题的基本研究方法。这一部分内容灵活度大、技巧性强，学习的过程中，不要一味追求技巧，应重视相关思想的培养和训练，如函数思想、方程思想等。

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斐波那契数列 (Fibonacci sequence)，又称黄金分割数列，因意大利数学家莱昂纳冬韭波那契 (Leonardo Fibonacci) 1202年以兔子熬殖为例子而引入，故又称为"兔子数列"，指的是这样一个数列:1、1、2、3、5、8、13,21,34,55,89……1 、 1 、 2 、 3 、 5 、 8 、 13,21,34,55,89 \ldots \ldots1、1、2、3、5、8、13,21,34,55,89……这个数列从箨 3 项开始，每一项都等于前两项之和。在数学上，斐波那契数列

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杨辉三角的历史杨辉三角按照杨辉于1261年所编写的《详解九章算法》一书，里面有一张图片，介绍此种算法来自于另外一个数学家贾宪所编写的《释锁算书》一书，但这本书早已失传无从考证。但可以肯定的是这一图形的发现我国不迟于1200年左右。在欧洲，这图形称为"巴斯加(Pascal)三角"。因为一般都认为这是巴斯加在1654年发明的。其实在巴斯加之前已经有许多人普及过，最早是德国人阿匹纳斯(Pertrus APianus)，他曾经把这个图形刻在1527年著的一本算术书封面上。

ε−Nε−N设anan​为数列,aaa为定数. 若对任给的正数εε, 总存在正整数NNN, 使得当nNn>NnN时, 有∣an−a∣ε∣an​−a∣ε则称数列anan​收敛于aaa, 定数aaa称为数列anan​的极限, 并记作lim⁡n→∞ana①, 或an→an→∞。