u013250861的博客

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我们以前学过的微积分，有一个明显的不足：黎曼( Riemann)意义下可积的函数类。处都是1.(*)式的左端恒为0，右端恒为1，不会趋于相同的值，于是在黎曼意义下就。差别不大)，那么当把区间分得很细的时候，能使这种差别的总和很小，那么内填、外包。授实变函数论，往往就能使学生们刮目相看.可是，半个多世纪过去了，大学数学系的。然后定义新的积分，并找出和某种微分的关系.实变函数的理论，就这样顺理成章地展。本书的内容就顺看勒贝格的思路走，先讨论集合)再讨论集合的"长度”，即测度、那么黎曼积分究竟有什么缺陷呢？

实变函数论建立在实数理论和集合论的基础之上，对于实数的性质，我们假定读者已经学过，所以本书只是介绍集合论方面的基本知识。“在一定范围内的个体事物的全体，当将它们看作一个整体时，我们把这个整体称为一个集合，其中每个个体事物叫做该集合的元素.”早在中学里我们就已接触过集合的概念，以及集合的并、交、补的运算，因此本章的前两节具有复习性质.，是以前没有接触过的.它在本书中常常要用到，是学习实变函数论时的一项基本功。这是数学向无限王国挺进的重要里程碑，也是实变函数论的出发点.的原像，在不致混淆时，

用集合语言描述函数性质，是实变函数中的常用方法，请再看下例。

上连续，则由连续函数的性质。

中最常用的运算有"并"“交”“减法"三种.实变函数中大量使用"无限并"和"无限交”说法是把"任意"改为"存在"，而把"存在"改为"任意"在集合论中，德摩根公式很好。数学分析中的很多定义、命题涉及"任意"和"存在"这两个逻辑量词，它们的否定。从给定的一些集合出发，我们可以通过所谓"集合的运算"作出一些新的集合，其。注意，按照集合的定义，重复出现在两个被并集合中的。三重的"交""并"运算，在以后各章会多次出现。的所有元素组成的集合称为这族集合的并集或。注意到与"存在"相对应的是并集运算，与"任。

我们只证明(1)，(2)的证明类似，请读者自证.的元素所组成的集，称为该集族的交或积，记为。交的概念也可以推广到任意多个集合的情形.设。的交集或积集，简称为交或积，记为。则由一切同时属于每个。关于集合的并和交显然有下面的事实.是任意两个集合·由一切既属于。上的一列函数，则对任意。

若A和B是 集合，称ABxx∈A且x∈B为A和B的差集.图1.3是AB的示意图.当我们讨论的集合都是某一个大集合S（称为全集） 的子集时，我们称SA为A的补集，并记SAAc在欧氏空间Rn中，RnA写成Ac当全集确定时，显然ABA∩Bc,因此研究差集运算可通过研究补集运算来实现，Qcxx是无理数若fx定义在集合E上，SE则xfxacxfx⩽a在集合论中处理差集或补集运算式时常用以下公式。

关于集合的并和交显然有下面的事实.

关于集合的并和交显然有下面的事实.

关于集合的并和交显然有下面的事实.

在集合论中处理差集或补集运算式时常用以下公式。

在集合论中,德摩根公式很好地反映了数学分析中这种论述的合理性.请读者注意:我们怎样把描写函数列性质的。

设A1​A2​⋯An​…是任意一列集.由属于上述集列（集合序列）中无限多个集合的那种元素的全体所组成的集合称为这一集列的,记为n→∞lim​​An​或n→∞lim​supAn​。它可表示为n→∞lim​​An​x存在无穷多个An​使x∈An​读者不难证明n→∞lim​​An​x对任意N0存在nN使x∈An​对集列A1​A2​⋯An​。

实变函数论1-集合2-集合的运算4-集合列的上极限和下极限2：交集与并集来表示上、下极限。

为增加（减少）集列.增加与减少的集列统称为单调集列.容易证明：单调集列是收敛的.如果。

增加与减少的集列统称为单调集列.容易证明：单调集列是收敛的.为增加（减少）集列.

若 Ai​i12⋯n是集合，则Ax1​x2​⋯xn​xi​∈Ai​i12⋯n称为Ai​i12⋯n的直积，记为∏i1n​Ai​或A1​×A2​×⋯×An​.类似地，i1∏∞​Ai​A1​×A2​×⋯x1​x2​⋯xi​∈Ai​i12⋯若 Ai​Ai12⋯, 则i1∏n​Ai​Ani。

设ABA , BAB为两个非空集合，如果有某一法则φ\varphiφ, 使每个x∈Ax \in Ax∈A有唯一确定的y∈By \in By∈B和它对应，则称φ\varphiφ为AAA到BBB内 的映射，记为φA⟶BφA⟶B当映射φ\varphiφ使yyy和xxx对 应时，yyy称为xxx在映射φ\varphiφ下的像，记作yφxyφx对任意E⊂AE⊂A, 称φEyyfxx∈Eφ。

对等关系显然有以下性质：对任何集合 ABC均有(1) A∼A(自反性)；(2) A∼B则 B∼A(对称性)；(3) A∼BB∼C则 A∼C(传递性).

若ABA , BAB是非空集合，且存在双射φA→BφA→B, 则称AAA与BBB对等，记为A∼BA \sim BA∼B, 规定∅∼∅∅∼∅若AAA和BBB对 等，则称它们有相同的基数，记为A‾‾B‾‾AB设ABA , BAB是 两个集合，如果AAA不 与BBB对等，但存在BBB的真子集B∗B∗有A∼A \simA∼B∗B∗则 称AAA比BBB有 较小的基数（或BBB比AA。

注意，利用基数的说法是：设。是 两个非空集合.如果。

有限集严格定义：令N*是正整数的全体，且N_n={1，2，3，……，n}，如果存在一个正整数n，使得集合A与N_n一一对应，那么A叫做有限集合。

凡和全体正整数所成集合Z∗Z∗对等的集合都称为可数集合或可列集合。由于Z∗Z∗可按大小顺序排成一无穷序列123⋯n⋯123⋯n⋯因此，一个集合AAA是 可数集合的充要条件为：A: AA可以排成一个无穷序列a1a2a3⋯an⋯a1​a2​a3​⋯an​⋯可数集合是无限集合，那么它在一般无限集合中处于什么地位呢？

凡和全体正整数所成集合Z∗Z∗对等的集合都称为可数集合或可列集合由于Z∗Z∗可按大小顺序排成一无穷序列123⋯n⋯123⋯n⋯因此，一个集合AAA是 可数集合的充要条件为：A: AA可以排成一个无穷序列a1a2a3⋯an⋯a1​a2​a3​⋯an​⋯。

可数集合是无限集合，那么它在一般无限集合中处于什么地位呢？

下面的定理告诉我们可数集有怎样的子集.

下面我们来研究由可数集出发通过加法运算可产生什么样的集合，

也是有限集或可数集，但如果至少有一个。为 有限或可数集，则。是有限集或可数集，则。

都是有限集或可数集（定理2），如果只有有限个。为可数集)，如果有无限多个（必为可数个）均 为可数集合时，定理3的推论可简记为。注意，上面的证明当部分（不是全部）不为空集，则由定理3的推论，也是可数集，故在任何情形下，不为空集，则由(1)，表示可数集的基数，则当。而本定理的结论就可简记为。

这个表面看来令人难以置信的事实，正是康托尔创立集合论，向"无限"进军的一个重要成果，它是人类理性思维的又一胜利。应该注意，有理数在实数中是处处稠密的，即在数轴上任何小区间中都有有理数存在（并且有无穷多个）.尽管如此，全体有理数还只不过是一个和稀疏分布着的正整数全体成为一一对应的可数集。用有理数集的可数性和稠密性可推断出一些重要的结论.是可数集，于是由定理4知全体正有理数成一可数集。中元素都是直线上的开区间，满足条件：若开区间。成为一一对应，故全体负有理数成一可数集。有理数全体成一可数集合，

平面上坐标为有理数的点的全体所成的集合为一可数集，个正整数组成的，其全体成一可数集.

整系数多项式a0​xna1​xn−1⋯an−1​xan​的全体是一可数集.每个多项式只有有限个根，所以得下面的定理。

如果真是这样的话，那么所有无限集合将只能具有同一的基数，而基数概念的。到目前为止，在无限集合中我们只讨论了可数集，是不是无限集合全都是可数集。数的这种表示为一个正规表示①.反之，每一个上述形式的无穷小数都是。则此无穷小数的各位数字既不全是9，也不以0为循环节，因此必是。中找一个与所有这些实数都不同的实数.为此利用对角线上的。的正规表示，但从这个无穷小数的作法可知，它与每一个。中的一个数字，不全为9，且不以0为循环节，我们称实。不是可数集合的无限集合我们称为不可数集合，一列互不相交的集合，它们的基数都是。

区间01和全体实数R对等，只需对每个x∈01令φxtanπx−2π​。

表示全体实数所成集合。表示全体正整数所成集合。

任意区间(ababab0∞0∞均具有连续基数 c（这里ab。

是一列互不相交的集合，它们的基数都是。

是一列互不相交的集合，它们的基数都是。的一个子集.所以由伯恩斯坦定理得。按 正规十进位无限小数表示。

维欧几里得空间（简称欧氏空间）按确定的次序排成的数组。