二次型对自变量向量的导数

将形如$f={\mathbf{x}}^{\mathbf{T}}\mathbf{A}\mathbf{x}$称为二次型，其中$\mathbf{x}$是$n$维列向量，$\mathbf{A}$为$n\times n$的矩阵，$f$为标量。二次型由于其良好的正定性、凸性在控制理论中经常用在判断系统稳定性、最优控制等。但是有个数学上的疑问，如何求二次型函数对自变量向量的导数
$$\frac{\text{d}f}{\text{d}\mathbf{x}}=?\text{\hspace{1em}(1)}$$

1. 标量对向量导数的定义

控制理论中都会使用到标量函数对向量的导数，比如在李雅普诺夫第二法判断稳定性中，但大多数控制理论的教材都没有给出如何对向量求导数，实际上高等数学也未明确地讲这件事情。最近在看《最优控制理论与应用》-解学书编著，一本很老的书，发现该书花了一章来讨论数学基础。

标量函数$f(\mathbf{x})$对$n$维列向量$\mathbf{x}=[x_1,x_2...x_n{]}^{\text{T}}$的导数定义为
$$\frac{\text{d}f}{\text{d}\mathbf{x}}\stackrel{\Delta }{=}{\left[\frac{\text{d}f}{\text{d}{x}_1},\frac{\text{d}f}{\text{d}{x}_2},...\frac{\text{d}f}{\text{d}{x}_n}\right]}^{\text{T}}\text{\hspace{1em}(2)}$$
实际上，式(2)的定义高等数学下中的梯度$\mathbf{g}\mathbf{r}\mathbf{a}\mathbf{d}f$，或者记为$\nabla f$。也就是说，对列向量的导数是一个列向量。类似地，可以定义对行向量的导数。
$$\frac{\text{d}f}{\text{d}{\mathbf{x}}^{\text{T}}}\stackrel{\Delta }{=}[\frac{\text{d}f}{\text{d}{x}_1},\frac{}{\text{d}{x}_2}$$