李雅普诺夫第二法求解思路及例题

最新推荐文章于 2025-05-06 15:09:35 发布

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本文详细介绍了李雅普诺夫稳定性分析的概念，通过例题展示了如何使用李雅普诺夫第二法判断非线性系统在特定平衡点的稳定性，包括求解能量函数、导数的半负定性等步骤。

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这是一个目录

李雅普诺夫稳定性分析
解题步骤
例题
- 1.考虑系统
- 2.考虑系统
习题

李雅普诺夫稳定性分析

一些概念：

能量函数：是一个大于等于0的量，在数学上可以用一个二次型函数来描述，形如 $V(x)={{x}^{T}}Px$ ，其中 $x$ 为一系列状态量或误差量
系统稳定：可以定义对于一个非线性系统 $\dot{x}(t)=f(x(t),t)$ ，若存在能量函数 $V (x)$ 满足条件 $V (x)$ 是正定的且 $\dot{V}(x)$ 是半负定的，则系统在原点处的平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定的

解题步骤

求解平衡点
凑出对称矩阵P中各元素关系
凑出能量函数形式
反向求解证明能量函数导数半负定，以证明系统稳定性

例题

1.考虑系统

$\left.\left\{\begin{aligned}\dot{x}_1&=x_2\\\dot{x}_2&=-x_1-(1+x_2^2)^3x_2^5\end{aligned}\right.\right.$
试采用李雅普诺夫第二法判断系统关于平衡点 $x_1=0,x_2=0)$ 的稳定性。

解：

草稿运算
设李雅普诺夫函数 $V(x)={{x}^{T}}Px$ ，求导则有 $\dot{V}(x)=2P_{11}\dot{x}_1x_1+2P_{22}\dot{x}_2x_2+(P_{12}+P_{21})\dot{x}_1x_2++(P_{12}+P_{21})\dot{x}_2x_1$
带入题设条件，则有
$\dot{V}(x)=2P_{11}x_2x_1+2P_{22}(-x_1-(1+x_2^2)^3x_2^5)x_2+(P_{12}+P_{21})x_2x_2+(P_{12}+P_{21})(-x_1-(1+x_2^2)^3x_2^5)x_1$
化简有
$\dot{V}(x)=2(P_{11}-P_{22})x_1x_2-2P_{22}(1+x_2^2)^3x_2^6+(P_{12}+P_{21})(-x_1-(1+x_2^2)^3x_2^5)x_1$
则当 $P_{11}=P_{22}>0$ 且 $P_{12}=P_{21}=0$ 时
$\dot{V}(x)=-2P_{22}(1+x_2^2)^3x_2^6<=0$

设李雅普诺夫函数 $V(x)={{x}^{T}}Px$ ，其中 $P=\begin{bmatrix}\dfrac{1}{2}&0\\0&\dfrac{1}{2}\end{bmatrix}$ ，对 $V$ 求导，则有
$\dot{V}(x)=-P_{22}(1+x_2^2)^3x_2^6<=0$
又P为正定矩阵，则有 $V (x) > 0$
故系统在原点附近稳定

2.考虑系统

$m\ddot{x}+c\dot{x}+\sin(x)+x=0$
其中 $m, c$ 均为正常数。
(1)求系统平衡点；
(2)试应用李雅普诺夫第二法分析系统关于平衡点的稳定性
解：
(1) 选取 $x_1=x,x_2=\dot{x_1}=\dot{x}$
则有状态方程
$\left.\left\{\begin{aligned}\dot{x}_1&=x_2\\\dot{x}_2&=-\frac1{m}(cx_2+sinx_1+x_1)\end{aligned}\right.\right.$
令 $\dot x_1=\dot x_2=0$ ，则有 $x_1=x_2=0$
故平衡点为原点
(2)

草稿运算
设李雅普诺夫函数 $V(x)={{x}^{T}}Px$ ，求导则有 $\dot{V}(x)=2P_{11}\dot{x}_1x_1+2P_{22}\dot{x}_2x_2+(P_{12}+P_{21})\dot{x}_1x_2++(P_{12}+P_{21})\dot{x}_2x_1$
带入题设条件，则有
$\dot{V}(x)=2P_{11}x_2x_1+2P_{22}(-\frac1{m}(cx_2+sinx_1+x_1))x_2+(P_{12}+P_{21})x_2x_2+(P_{12}+P_{21})(-\frac1{m}(cx_2+sinx_1+x_1))x_1$
$P_{12}=P_{21}=0$ 时，化简有
$\dot{V}(x)=2(P_{11}-\frac1{m}P_{22})x_1x_2-2P_{22}(\frac1{m}cx_2^2)-2P_{22}\frac1{m}x_2sinx_1$
当 $P_{11}=\frac1{m}P_{22}>0$ 时
$\dot{V}(x)=-2P_{22}(\frac1{m}cx_2^2)-2P_{22}\frac1{m}x_2sinx_1=-2P_{22}(\frac1{m}cx_2^2)+2P_{22}\frac1{m}cos^,(x_1)$
可以看到多了一项+2P_{22}\frac1{m}cos^,(x_1)，故需要凑李雅普诺夫函数来消掉该项

设李雅普诺夫函数 $V(x)={{x}^{T}}Px-cosx_1+1$ ，其中 $P=\begin{bmatrix}\dfrac{1}{2}&0\\0&\dfrac{1}{2}m\end{bmatrix}$ ，
对 $V$ 求导，则有
$\dot{V}(x)=-2P_{22}(\frac1{m}cx_2^2)+2P_{22}\frac1{m}cos^,(x_1)-x_2sinx_1=-cx_2^2<=0$
又 $V(x)={{x}^{T}}Px-cosx_1+1>=0$
故系统在平衡点附近稳定