轻松理解CBOW模型

引言

前面我分析了Word2vec的一种模型叫做skip-gram模型。在这篇文章中，我将讲述另一个word2vec模型——连续词袋模型（CBOW）模型。如果你理解skip-gram模型，那么接下来的CBOW模型就更好理解了，因为两者模型互为镜像。我们先来看看CBOW模型与skip-gram模型对比图：

如何，这是不是镜像关系？所以接下来的讲解也会和skip-gram那篇文章极其类似。

前向传播

接下来我们来看下CBOW神经网络模型，CBOW的神经网络模型与skip-gram的神经网络模型也是互为镜像的

在上图中，该模型的输入输出与skip-gram模型的输入输出是相反的。这里输入层是由one-hot编码的输入上下文{$x_1$,…,$x_C$}组成，其中窗口大小为C，词汇表大小为V。隐藏层是N维的向量。最后输出层是也被one-hot编码的输出单词$y$。被one-hot编码的输入向量通过一个$V\times N$维的权重矩阵$W$连接到隐藏层；隐藏层通过一个$N\times V$的权重矩阵$W^{{}^{\prime }}$连接到输出层。
接下来，我们假设我们知道输入与输出权重矩阵的大小。

• 第一步就是去计算隐藏层$h$的输出。如下：
  $$h=\frac{1}{C}W\cdot (\sum _{i=1}^C{x}_i)\text{\hspace{1em}(1)}$$
  该输出就是输入向量的加权平均。这里的隐藏层与skip-gram的隐藏层明显不同。
• 第二部就是计算在输出层每个结点的输入。如下：
  $$u_j=v_{wj}^{{}^{\prime }T}\cdot h\text{\hspace{1em}(2)}$$
  其中$v_{wj}^{{}^{\prime }T}$是输出矩阵$W^{{}^{\prime }}$的第$j$列。
• 最后我们计算输出层的输出，输出$y_j$如下：
  $$y_{c,j}=p(w_{y,j}|w_1,...,w_c)=\frac{exp(u_j)}{{\sum }_{j^{{}^{\prime }}=1}^{V}exp(u^{{}^{\prime }}j)}\text{\hspace{1em}(3)}$$

通过BP（反向传播）算法及随机梯度下降来学习权重

在学习权重矩阵$W$与$W^{{}^{\prime }}$过程中，我们可以给这些权重赋一个随机值来初始化。然后按序训练样本，逐个观察输出与真实值之间的误差，并计算这些误差的梯度。并在梯度方向纠正权重矩阵。这种方法被称为随机梯度下降。但这个衍生出来的方法叫做反向传播误差算法。
具体推导步骤就不详写了：

• 首先就是定义损失函数，这个损失函数就是给定输入上下文的输出单词的条件概率，一般都是取对数，如下所示：
  $$E=-logp(w_O|w_I)\text{\hspace{1em}(4)}$$
  $$=-v_{wo}^T\cdot h-log\sum _{j^{{}^{\prime }}=1}^{V}exp(v_w^T{}_{j^{{}^{\prime }}}\cdot h)\text{\hspace{1em}(5)}$$
  接下来就是对上面的概率求导，具体推导过程可以去看BP算法，我们得到输出权重矩阵$W^{{}^{\prime }}$的更新规则：
  $$w^{{}^{\prime }(new)}=w_{ij}^{{}^{\prime }(old)}-\eta \cdot (y_j-t_j)\cdot h_i\text{\hspace{1em}(6)}$$
  同理权重$W$的更新规则如下：
  $$w^{(new)}=w_{ij}^{(old)}-\eta \cdot \frac{1}{C}\cdot EH\text{\hspace{1em}(7)}$$

参考文献

[1] Mikolov T, Chen K, Corrado G, et al. Efficient Estimation of Word Representations in Vector Space[J]. Computer Science, 2013.（这篇文章就讲了两个模型：CBOW 和 Skip-gram）
[2] Mikolov T, Sutskever I, Chen K, et al. Distributed Representations of Words and Phrases and their Compositionality[J]. 2013, 26:3111-3119.（这篇文章针对Skip-gram模型计算复杂度高的问题提出了一些该进）
[3] Presentation on Word2Vec（这是NIPS 2013workshop上Mikolov的PPT报告）