42，一点都不乏味

近日，数学家终于谱写出了 42 的三个整数的立方和。这解决了一个已经被考虑了 65 年的问题，42 已经不是最孤单的数字了。

其实，42一点都不乏味！

好吧，虽然这早已不是秘密了。

这个数在道格拉斯·亚当斯的《银河系搭车客指南》里很重要，它是“关于生命、宇宙以及一切之终极问题”的答案。这 一发现马上产生了一个新问题：什么才是真正的关于生命、宇宙和所有一切之终极问题？亚当斯说，他选择这个数是因为，他快速地问了一圈朋友们，大家都认为  是最乏味的。

在此，我想保护  不受这样的诽谤。就数学意义而言， 毫无疑问无法和 、，甚至是  相提并论。然而，它也并不是完全无趣的。 是普洛尼克数、卡塔兰数，也是最小的魔方幻方常数。当然，它还有一些其他特点。

▌普洛尼克数

所谓普洛尼克数（也叫长方形数、矩形数或 heteromecic 数）是指两个连续整数的积，因此它的形式是  。当  时，我们可以得到 。由于第  个三角形数是  ，所以普洛尼克数是三角形数的  倍。它还是前  个偶数之和。数量是普洛尼克数的点可以排列成一个矩形，这种矩形的一条边比另一条边大 （图 171）。

图 171 前 6 个普洛尼克数。阴影部分表示它们为什么是三角形数的 2 倍

这里有一个关于高斯的故事，在他还很年轻的时候，被老师要求完成一个一般形式的问题

很快发现，如果相同的和式以递减的顺序写出来，即

其相应的数对之和都等于。因为有  对这样的数对，所以它们的总和为 ，这是一个普洛尼克数。老师提出的问题的答案是这个数的一半，即 。然而，我们实际上并不知道高斯的老师在课上提出的问题到底是什么，它有可能更难。如果是这样的话，那么高斯就更聪明了。

▌第  个卡塔兰数

卡塔兰数出现在许多不同的组合问题里，所谓组合问题是指对各种数学任务的完成方法进行计数。这个问题可以追溯到欧拉，他计数了一个多边形可以分割成多少种顶点相接的三角形。后来，欧仁·卡塔兰发现了这类问题和代数之间的联系：在加法或乘法算式里插入括号的方法有多少种。我很快就会做解释，但首先让我先介绍一下这类数。

对 n = 0, 1, 2,…而言，前几个卡塔兰数 Cn 

利用阶乘可以得到如下公式：

当  比较大时，它还有一个很好的近似公式：

这又是一个在看似和圆或球体无关的问题里出现了  的例子。

 是把正  边形分割成三角形的不同方法的数量（图 172）。

图 172 把六边形分割成三角形的 14 种方法

它也是生成有  片叶子的二叉树的数量。二叉树源于一个根节点， 然后从这个节点开始向两边分枝。每个分枝都以点或叶子结束。每个点必须继续分出两枝（图 173）。

图 173 5 棵有 4 片叶子二叉树

如果你觉得这个想法有点难懂，那么它和代数还有一个更直接的联系——计算在加法或乘法算式中插入括号的方法的总数，例如对 abcd 而言， 有C5 种可能：

一般而言， 个符号有  种插入括号的方法。为了搞明白其中的联系， 我们可以把这些符号顺次填在树的叶子上。如果一对叶子有相同的节点，

那么就插入括号。如图 174 所示，我们先从左往右把  片叶子标上 、、、。然后，从下往上在连接  和  的节点旁标记 。它上面的节点连接了  和标记为 的节点，因此新的节点对应于 。最后，顶上的节点连接了  和 ，因此，它是 。

图 174 把二叉有根树转化成代数

许多其他的组合问题也会出现卡塔兰数；以上是最容易描述的一小部分。

▌魔方

一个  魔方的幻方常数是 。这样的魔方包含了  每个数各一次，平行于棱边的每行或经过中心的对角线中的数之和是相等的——这个和被称为幻方常数。所有  个数之和是 。这些数可以被分成 组不相交的三元组，而每个三元组相加后可以得到幻方常数，因此幻方常数必须是 。

这样的排列是存在的，图 175 就是一个例子。

图 175  魔方的连续三层

▌其他特点

1.  是分拆  的不同方法的数量，拆分需按自然顺序把数写成整数之和。

2.  是第二个楔形数，所谓楔形数是指  个不同质数之积。在这里，。

3.  是第三个  边形数，它和三角形数类似，但基于的是正  边形。

4.  是超级多重完全数：除数之和的除数之和（包括 ），这样重复  次之后的数字等于自己。

5.在一段时期内， 是已知最好的  的无理性度量值，即精确量化  有多“无理”的一种方法。特别是库尔特·马勒在 1953 年证明了对任意有理数p/q 而言，有

不过，V. 卡·萨利科夫在 2008 年将  修订成 ，因此  在这里又变回了无趣。

6. 是第三个本原伪完全数。所谓本原伪完全数需满足条件:

其中  是可以整除  的不同质数。前几个本原伪完全数分别是

7.  是这样的一种 ，存在小于  的  个不同正整数 、、、， 且 、 和  全都可以整除 。它是仅有的已知具有这种性质的数，但人们尚不知道是否还存在其他这样的数。

8. 是被证明的香肠猜想里的最小维度（见第 56 章）。不过，人们猜想命题在大于等于  维时都成立，因此， 在这里的意义依赖于当下掌握的知识。

看到了吗？  一点都不乏味！

更多 42 的故事，请关注《不可思议的数》。

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斯图尔特教授继

《数学万花筒》之后的又一力作

作者：Ian Stewart

译者：何生 

书中介绍了各种各样的数：从常见的自然数 0 至 10 到负数，从“简单”的有理数到复杂多变的有理数和无理数；从已知最大的质数到最小的无穷大。每个数都有它自己的故事，而围绕着这些数，作者不但讲述了每个数背后的历史，更拓展出众多有趣的数学问题，让这些数成为带读者进入神奇数学世界的“引路人”。

本文转载自：遇见数学

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