38、警察与强盗游戏及路径模式化问题研究

警察与强盗游戏及路径模式化问题研究

在计算机科学和图论的研究领域中，警察与强盗游戏以及路径模式化问题是两个备受关注的方向。下面我们将深入探讨这两个问题的相关研究。

警察与强盗游戏

警察与强盗游戏是一个经典的图论问题，它模拟了警察在图上追捕强盗的场景。在无资源补充的情况下，该游戏有其独特的性质和复杂度。

存在一个位置 $P’ = ((v’_1, s’_1), \ldots, (v’_k, s’_k))$，使得警察可以在一步之内从位置 $P$ 移动到 $P’$。并且对于任意 $u’ \in N_G[u]$，有 $W(P’, u’, l’) = true$，其中 $l’ = s’_1 + \ldots + s’_k < l$。由于所有位置可以使用多项式空间列出（无需存储），强盗的可能移动步数最多为 $n$，递归深度最多为 $kf$，所以该算法使用的空间为 $O(kfn^{O(1)})$。

研究表明，具有资源限制的警察与强盗游戏问题对于每个 $f > 1$ 都是 PSPACE 完全的。即使 $f$ 最多是警察数量的某个多项式，该问题仍然是 PSPACE 完全的。然而，对于无燃料限制的经典警察与强盗游戏，其计算复杂度仍是一个长期未解决的问题。1995 年，Goldstein 和 Reingold 猜想该问题是 EXPTIME 困难的，但目前还没有例子表明警察获胜需要进行指数级的步数（或消耗指数级的燃料），这就引出了一个自然的问题：在无燃料限制的警察与强盗游戏中，每个警察沿着边需要走多少步？

路径模式化问题

路径模式化问题源于道路网络中路线可视化的需求。在地图绘制中，简化和模式化地图对象是常见的操作。简化通常是减少不必要的复杂性