65、多边形行走与图论中的算法问题解析

多边形行走与图论中的算法问题解析

1. 多边形行走中的隐藏与寻找问题

在简单多边形边界行走的场景中，我们探讨孩子之间如何避免相互看见的问题。这里引入了不可见图（invisibility diagram）的概念，用于分析和解决此类问题。

1.1 安全路径的定义与判定

安全路径 $\pi_{safe}(s, t)$ 是指在不可见图中连接点 $s$ 和 $t$ 的路径，沿着该路径行走时，Jack 和 Jill 不会相互看见。安全路径完全包含在代表单元格并集的灰色区域内。Jack 能在不被 Jill 看见的情况下遍历其路径，当且仅当不可见图中存在安全路径 $\pi_{safe}(s, t)$。

为了判定安全路径是否存在，我们可以通过以下步骤：
- 确定 $s$ 和 $t$ 所在的骨架 ：对于不可见图中的任意固定点 $(x, y)$，可以在 $O(n)$ 时间内确定包含该点的单元格的骨架。具体做法是先在 $O(n)$ 时间内计算可见多边形 $Vis(P, x)$，然后遍历多边形 $P$ 的边界，确定包含 $y$ 且从 $x$ 不可直接看见的最大连通区间。若不存在这样的区间，则该点不安全；否则，该区间的一个端点（如 $r$）必为 $P$ 的反射顶点，将 $(x, y)$ 与该反射顶点的骨架关联起来。
- 确定骨架的连通分量 ：给定包含 $s$ 和 $t$ 的单元格的骨架后，我们要确定这两个骨架是否在灰色点的同一个连通分量中。根据水平和垂直线段定义所有 $O(n)$ 骨架，可在 $O(n \log n)$ 时间和 $O(n)$ 空间内计算这些正交线段的连通分量。因为引理 2