26、线性逻辑的Scott语义与全极化演算

线性逻辑的Scott语义与全极化演算

1. Scott语义概述

在一般的线性逻辑（LL）模型中，一个对象可以赋予多种不同的! - 余代数结构，这使得描述相关范畴变得困难。然而，在LL的Scott模型中，线性范畴的每个对象都恰好有一种! - 余代数结构，这是该模型的一个显著特征，例如在相干空间中就不具备这样的性质。这种特性还带来了一个非常简单的用于ΛHP的交集类型系统。

2. 线性逻辑的Scott语义

2.1 预序和关系的“线性”范畴Polr

引入一个“线性”范畴Polr，它由预序和关系组成。预序是一个对$S = (|S|, ≤S)$，其中$|S|$是一个至多可数的集合，$≤S$（在无混淆时写作$≤$）是$|S|$上的一个预序关系。给定两个预序$S$和$T$，从$S$到$T$的态射$f$是$|S| × |T|$的一个子集，满足若$(a, b) ∈f$且$(a′, b′) ∈|S| × |T|$，同时$a ≤S a′$且$b′ ≤S b$，则$(a′, b′) ∈f$。两个态射的关系复合仍是一个态射，$S$上的恒等态射$IdS = {(a, a′) | a′ ≤S a}$。

对于Polr中的对象$S$，$|S|$的向下封闭子集的集合$Ini(S)$，按包含关系排序，是一个ω - 素代数完全格（并且所有这样的格在同构意义下都是这种形式）。Polr等价于ω - 素代数完全格和线性映射（保持所有上确界的函数）的范畴。

2.2 幺半结构和笛卡尔积

对象$1$是$({∗}, =)$，给定预序$S$和$T$，定义$S ⊗T = (|S|×|T|, ≤S ×≤T )$，态射的张量积以明显的方式定义。定义幺半