基于三维混沌的图像加密-优快云博客

基于三维混沌映射的高效图像加密算法

引言

随着科学技术的快速发展，数字信息已在我们的日常生活中广泛传播。图像作为重要的数字源之一，已成为人们之间共享信息的一种常见且直接的方式。因此，大量图像通过计算机或手机在网络上传输。然而，由于存在未授权访问、读取和篡改等问题，图像的安全性已成为我们所有人面临的紧迫问题。为解决这一问题，可采用密码学技术来抵御非法攻击者，从而保护图像内容[1, 2]。

由于混沌系统（映射）具有非线性、遍历性以及对参数和初始条件的高敏感性等优异特性，基于混沌的图像加密算法近年来受到了广泛关注。例如，提出了一种二维 Logistic‐ICMIC级联映射并将其应用于图像加密方案中。通过同时采用比特级混淆与扩散，经过一些比较后结果显示具有更高的安全性、更低的计算量和更小的时间复杂度。在一项研究中，借助生物DNA序列操作和细胞神经网络提出了一种新的图像加密方案，其中设计了比特替换、密钥流生成和扩散过程。为了使密钥流依赖于明文图像，提出了一种反馈结构，解决了“传统置换操作只能打乱图像像素位置”的问题。

然而，当前一些基于混沌的方法是将加密算法分为置换和扩散两个阶段，并使用双混沌系统（映射）或设置两组密钥。例如，在[9]中，分段线性混沌映射被使用了两次，并采用两组独立的密钥；随后引入了一种新的扩散策略，并对像素比特位进行置换。在[10],中，切线延迟椭圆反射腔映射和斜帐篷映射均被用于加密算法中，其中一个用于置换操作，另一个用于扩散操作。为了解决这些问题，我们提出一种仅使用一个混沌映射和一组密钥的新图像加密算法。由于高维混沌系统（映射）能够表现出复杂的混沌行为，本文所提出的算法采用了三维混沌映射[11] 。本文其余部分组织如下：首先，详细描述所提出的图像密码系统；然后，进行仿真及相关安全分析；最后，对我们方法做出一些结论。

2. 所提出的图像密码系统

2.1 三维混沌映射

一种三维交织逻辑映射（ILM）[11]定义如下

$$
\begin{cases}
x_{i+1} = \left( k_1 y_i x_i z_i \mu_1 \right) \mod 1 \
y_{i+1} = \left[ \frac{k_2}{y_i + z_i} + x_i \mu_2 \right] \mod 1 \
z_{i+1} = \left[ x_i y_i + k_3 z_i \mu_3 \right] \mod 1
\end{cases}
\quad (1)
$$

其中 $0 < \mu_1 \leq 3.999$，$k_1 > 33$，$k_2 > 37$，$k_3 > 35$，$\mu_2,\mu_3$ 是固定的。那么，上述 ILM 将表现出超混沌行为。更多内容可参考文献 [11]。

2.2 加密过程

通常，有意义的自然图像中相邻像素之间具有很强的相关性。为了降低这种相关性，我们采用置换方法来打乱像素位置，即对所有像素进行交换。假设明文图像的大小为 $P \in \mathbb{R}^{m \times n}$。在算法中通过设置随机的密钥作为ILM的初始条件。为了使生成的密钥流依赖于明文图像，计算一个因子

$$
s = \sum_{i,j} P(i,j)^2 \quad (2)
$$

其中 $s$ 是一个整数。然后，它被设计并转换为一个小数

$$
u = f(s) \quad (3)
$$

其中 $f(s)$ 是一个通过迭代的循环操作使 $s/10$ 小于10的函数。接下来，密钥通过以下方式更新

$$
\begin{cases}
x_0 = (x_0 + 0.1 / 3 + u) \mod 1 \
y_0 = (y_0 + 0.2 / 5 + u) \mod 1 \
z_0 = (z_0 + 0.3 / 7 + u) \mod 1
\end{cases}
\quad (4)
$$

其中 $\mod$ 是模函数。然后，通过迭代对ILM进行若干轮迭代，得到 ${x_0,x_1,x_2,\dots}$、${y_0,y_1,y_2,\dots}$ 和 ${z_0,z_1,z_2,\dots}$。这里，${x_0,x_1,x_2,\dots}$ 和 ${y_0,y_1,y_2,\dots}$ 用于第一次置乱，而 $W={x_t,x_{t+1},\dots,x_{t+m}}$、$V={y_t,y_{t+1},\dots,y_{t+n}}$ 和 ${z_0,z_1,z_2,\dots}$ 用于第二次置乱。需要注意的是，$x_0,y_0,z_0$ 会根据明文图像自动更新。因此，在通信过程中，发送方和接收方无需记录或保存它们。

置乱加密。选择两组集合 $X={x_{t+1},x_{t+2},\dots,x_{t+m}}$ 和 $Y={y_{t+1},y_{t+2},\dots,y_{t+n}}$，其中 $t$ 是为避免有害影响而设置的一个数。对这两组集合进行排序函数操作，并获得索引 ${h_1,h_2,\dots,h_m}$ 和 ${l_1,l_2,\dots,l_n}$。然后，根据 $H$ 对明文图像的行进行交换（即将第 $i$-th 行移动到第 $h_i$-th 行）以及根据 $L$ 对列进行交换（即将第 $i$-th 列移动到第 $l_i$-th 列）。由此，通过第一次置乱得到置换后的图像 $A$。再次选择两组集合 $W={w_{t+1},w_{t+2},\dots,w_{t+m}}$ 和 $V={v_{t+1},v_{t+2},\dots,v_{t+n}}$，并将所有元素转换为灰度层级由

$$
W = \left[ W \times 10^{14} \right] \mod n, \quad V = \left[ V \times 10^{14} \right] \mod m
$$

根据图像大小对置换后的图像分别进行行和列的循环置换，得到新图像 $B$。因此，在第二次置乱后，置换加密完成。

扩散加密。为了抵御统计攻击，通常在置换之后采用扩散来改变明文图像中的灰度分布。通过使用密钥 $x_0$、$y_0$ 和 $z_0$ 迭代 ILM，可以获得三个序列，即 ${x_0,x_1,x_2,\dots}$、${y_0,y_1,y_2,\dots}$、${z_0,z_1,z_2,\dots}$。然后将它们排列为 ${x_0,y_0,x_1,y_1,\dots}$ 和 ${x_0,z_0,x_1,z_1,\dots}$。丢弃前几次迭代以避免有害影响后，选取部分元素形成两个长度为 $mn$ 的随机集合，即

$$
S_1 = {x_{r+1},y_{r+1},x_{r+2},y_{r+2},\dots,x_{r+mn},y_{r+mn}}
$$

$$
S_2 = {x_{r+1},z_{r+1},x_{r+2},z_{r+2},\dots,x_{r+mn},z_{r+mn}}
$$

为了匹配图像大小，$S_1$ 和 $S_2$ 按从上到下、从左到右的顺序被重新排列为矩阵 $D \in \mathbb{R}^{m \times n}$ 和 $F \in \mathbb{R}^{m \times n}$。在所提出的算法中，扩散加密设计如下：

$$
\begin{cases}
D_i = \left[ 10^{14} \times d_i \right] \mod 256 \
F_i = \left[ 10^{14} \times f_i \right] \mod 256 \
k_e = \left[ 3k_1 + 5k_2 + 10^{14} \times z_0 \right] \mod 256 \
C_i = (B_i + D_i + F_i + k_e) \mod 256
\end{cases}
\quad (5)
$$

其中 $i=1,2,\dots,m$。$C_i$、$B_i$、$D_i$、$F_i$ 分别表示行。$e$ 是一个元素全为1的向量。因此，可得到密文图像 $C$。

2.3 所提出算法的流程图

我们提出了一种新的图像加密算法，该算法采用一个混沌系统和一组密钥。所提出的图像加密方案的示意图如图1所示。

示意图0

2.4 解密过程

由于我们的方法中设计的置换‐扩散结构是对称密码，因此解密过程可以通过加密过程的逆操作来实现。要从密文图像恢复出明文图像，首先以逆序进行扩散，然后对逆向循环操作执行置换，最后对所有列和行进行逆向交换。

3. 仿真

在本节中，为了验证所提出算法的有效性，随机选取了一些图像（灰度和彩色）进行测试，如图2所示。仿真在Windows 7系统的PC上使用MATLAB R2011b进行。从这些结果可以看出，与明文图像相比，密文图像没有泄露任何有用信息。

示意图1 Lena的明文图像，(b) Lena的密文图像，(c) Cameraman的明文图像，(d) Cameraman的密文图像，(e) Rice的明文图像，(f) Rice的密文图像，(g) Building的明文图像，(h) Building的密文图像，(i) Lake的明文图像，(j) Lake的密文图像，(k) Tree的明文图像，(l) Tree的密文图像)