18、图论基础与算法详解

图论基础与算法详解

1. 图的基本概念

图分为有向图和无向图。有向图的边带有箭头，允许存在从节点到自身的边（如节点 4 到自身的边），也允许一对顶点间有两条不同的边（如连接顶点 1 和 2 的两条边），而无向图则不具备这些特性。有向图可以用集合表示，例如右边的有向图可表示为 <{0, 1, 2, 3, 4}, {<1,0>, <1,2>, <2,0>, <2,1>, <2,3>, <3,4>, <4,4>, <5,1>}>，其中边集是有序对的集合；无向图的边集通常是集合的集合。不过，用集合表示图比较繁琐，实际中常以图形展示。

以下是图的一些基本术语：
- 邻接性 ：在图 G = 中，若 {v1, v2} ∈ E，则顶点 v1 和 v2 相邻。例如在图 2 中，顶点 0 和 1、顶点 7 和 4 相邻，而顶点 0 和 4、顶点 1 和 3 不相邻。
- 路径 ：图中顶点的序列 p = （n ≥ 2），且 p 中每对顶点 vi 和 vi + 1 都相邻。路径长度是指路径中的边数，如图 2 中，路径 <0, 2, 3> 和 <4, 7, 8> 的长度均为 2。
- 环 ：路径 中 v1 = vn。简单环是指除首尾顶点外，无重复边和顶点的环。如图 2 中，路径 <4, 7, 8, 4> 是简单环，而路径 <4, 7, 8, 7, 4> 是环但不是简单环。
- 子图