20、统计分析基础：从样本到假设检验

transformer2023

于 2025-11-05 09:34:47 发布

阅读量27

点赞数

CC 4.0 BY-SA版权

分类专栏： SPSS实战：从数据到洞察文章标签：统计分析假设检验参数检验

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/transformer2023/article/details/154470954

SPSS实战：从数据到洞察专栏收录该内容

21 篇文章 ¥499.90

订阅专栏¥69.90

会员秒杀 ¥9.9 重磅福利

超级会员免费看

统计分析基础：从样本到假设检验

在统计分析领域，我们常常需要从样本数据中推断总体的特征，这就涉及到了一系列复杂而又重要的概念和方法。下面将详细介绍这些内容，帮助大家更好地理解和运用统计分析。

1. 班级调查数据库

该数据库记录了学生的班级（上午班或下午班）、两次考试的成绩、预测的最终成绩、性别、自我评定的焦虑水平以及对教师的评价等信息。这些数据为后续的统计分析提供了基础。

2. 推断统计基础概念

推断统计的目的是根据从特定总体中选取的代表性或随机样本的结果，对该总体进行推断。与描述统计不同，描述统计只是描述“是什么”，而推断统计则预测“可能是什么”。

2.1 总体和样本

总体是由研究者定义的，可以是大到全国的高中生，也可以小到某一所学校的学生。从定义的总体中抽取随机样本是确保样本能最好地代表实际总体的唯一方法。这里的“随机”并非随意，而是指总体中的每个成员都有平等且独立的被选中机会。但由于总体的规模和性质，这种抽样过程往往很困难，甚至不可能实现。不过，还有其他抽样方法可以解决这个问题。

2.2 抽样程序

简单随机抽样 ：从定义的总体中，使所有个体都有平等且独立的机会被选入样本。通常使用随机数表或计算机程序等随机程序来选取样本。
分层抽样 ：将总体划分为不同的子组，然后从每个子组中获取随机样本，以确保样本中每个子组都有代表。
整群抽样 ：随机选取完整的群体，而不是个体。
系统抽样 ：从总体个体列表中每隔第 $i$ 个个体进行选取。

需要注意的是，分层、整群和系统抽样并非随机样本，因为定义总体中的每个成员并非都有平等且独立的被选机会。但在没有其他可行选择时，研究人员会使用这些方法，并通过推断统计程序分析结果。不过，在推广研究结果时，必须明确说明推广的范围，否则可能会出现结果不可靠的问题。

3. 假设检验

在假设检验中，会创建两个假设：原假设（$H_0$）和备择假设（$H_A$），且只有一个假设为真。原假设表明我们观察到的现象没有显著差异，而假设检验的过程就是判断是否拒绝或保留原假设。如果拒绝原假设，意味着观察到的差异不能归因于数据的随机波动（即随机误差）；备择假设则表示存在显著差异，这通常是研究人员进行研究的想法或原因。

例如，假设比较两种阅读教学方法，原假设为两种教学方法没有差异，任何观察到的差异都是随机误差导致的；备择假设则是两种教学方法会产生显著不同的结果。如果拒绝原假设，就有证据表明备择假设为真，即观察到的差异是由教学方法的系统性差异造成的。

在大多数研究设计中，我们希望拒绝原假设，但也有希望保留原假设的情况，如使用 Kolmogorov - Smirnov 单样本检验时，原假设是一系列连续值的分布与正态曲线相同，在这种情况下，我们通常希望保留原假设。

4. 统计检验类型

SPSS 提供了两种类型的假设检验：参数检验和非参数检验。选择哪种检验类型不仅取决于数据的测量水平（名义、顺序或尺度），还取决于对总体和离散程度（方差）的假设。

4.1 参数统计检验

参数检验用于分析区间（尺度）数据，它假设数据具有特定的分布（通常是正态分布）、区间（尺度）测量水平以及方差的相等性（同质性）。其中，最关键的假设是从总体中抽取随机样本的总体具有正态分布。例如，从某城市所有男性的总体中抽取样本并计算平均身高，就假设“身高”这个变量在该男性总体中呈正态分布。

许多参数检验（如 t 检验）具有较强的稳健性，即使某些假设不满足，检验结果仍然可行且可进行统计解释。但在使用参数检验之前，需要确定以下几点：
- 样本是随机的；
- 数值是独立的；
- 数据呈正态分布；
- 样本具有相等或至少相似的方差。

然而，研究人员在应用这些约束条件时可能会有一定的灵活性。例如，使用李克特量表时，研究人员常假设项目间具有区间测量水平，但实际上李克特量表应被视为顺序数据。在实践中，为了方便或使用更熟悉的检验（如卡方检验），测量水平可能会从尺度降级为顺序或名义，这并不是好的做法，因为会丢失信息。

参数检验的功效大于非参数检验，因此在满足正态分布和方差相等的假设时，应优先使用参数检验。

4.2 非参数统计检验

当数据无法满足参数检验的假设时，可以考虑使用非参数统计方法来分析数据。非参数检验适用于包含计数、分类（名义）和评级的数据库，对于普通用户来说可能更容易理解和解释，其假设通常较少。

非参数检验不依赖于对总体分布和参数的了解，也称为无分布方法。它使用排名和频率信息来评估总体之间的差异，适用于变量在顺序或名义水平上测量的情况，也可用于不满足正态性假设的区间数据。

5. 数据转换与误差类型

在对数据应用统计检验时，有两种选择：一是通过数学变换对数据进行转换，使变量更接近正态分布；二是应用适当的非参数统计检验。

同时，在假设检验中还存在两种类型的错误：
- 第一类错误 ：当研究人员拒绝了实际上为真的原假设时，就发生了第一类错误。
- 第二类错误 ：当研究人员未能拒绝实际上为假的原假设时，就发生了第二类错误。

例如，学校尝试新的阅读教学方法，若原假设（两种教学方法无差异）为真却被拒绝（第一类错误），学校可能会花费大量成本引入新方法；若原假设为假却未被拒绝（第二类错误），学校则会错过更优的教学方法。大多数研究人员认为第一类错误的代价更高，因此希望尽量降低犯此类错误的概率。

6. 显著性检验与效应量

显著性检验并非表示重要性，而是指统计概率水平。它用于确定犯第一类错误的概率（即我们在做出错误决策时愿意承担的预先选定的概率水平）。常见的显著性水平有 0.05（100 次中有 5 次）和 0.01（100 次中有 1 次）。预先选定的显著性水平（用 $\alpha$ 表示）作为判断是否拒绝或保留原假设的标准。如果统计分析后得到的概率小于或等于 $\alpha$，通常会拒绝原假设；反之，则保留原假设。

统计检验的结果可能在统计上显著，但实际差异可能很小且不重要。为了评估差异或关系的相对重要性，可以使用效应量这一指标。效应量是衡量统计总体中两个变量之间关系强度的指标，或者是基于样本的该指标的估计值。常见的计算效应量的方法有 Pearson’s r 相关、Cohen’s d、eta - 平方和 Cramer’s V。虽然 SPSS 不直接提供这些效应量的计算，但可以使用 SPSS 的输出结果进行计算。

7. 单尾和双尾检验

根据研究人员是否有证据表明差异只在一个方向上出现，可选择单尾或双尾显著性检验。如果有证据表明差异只在一个方向上，单尾检验更合适；如果没有证据表明方向，则应使用双尾检验。在 SPSS 中，每个统计检验都会列出双尾检验的结果。对于给定的显著性水平（如 0.05），单尾检验的拒绝区域全部在曲线的一侧，更容易拒绝原假设；而双尾检验的 0.05 区域会被平分到曲线两侧，每侧的拒绝区域为 0.025。

8. 自由度

自由度是指围绕一个参数可以自由变化的观测值数量。简单来说，就是在其余变量完全确定之前，可以自由分配的最大变量数量。

例如，对于等式 $2 + 4 + 6 +? = 20$，可以通过 $20 - (2 + 4 + 6) = 8$ 确定缺失的数字，此时没有自由度；而对于等式 $2 + 4 +? +? = 20$，有无数种数字组合使得和为 14，如 $7 + 7$、$6 + 8$ 等。但如果选择其中一个缺失数字为 11，那么另一个数字就确定为 3，此时有 1 个自由度。

在 SPSS 中，每个显著性统计检验都有特定的自由度计算公式，通常在输出表中用 $df$ 表示。

综上所述，了解这些统计分析的基础概念和方法对于正确运用统计工具进行研究和决策至关重要。在实际应用中，需要根据数据的特点和研究目的，合理选择抽样方法、假设检验类型以及其他相关的统计技术，同时要注意避免各类错误，准确评估结果的显著性和效应量。通过不断学习和实践，我们能够更好地运用统计分析来揭示数据背后的信息和规律。

统计分析基础：从样本到假设检验

9. 不同概念间的关系与应用流程

为了更清晰地展示上述各个统计概念之间的关系以及在实际应用中的流程，我们可以通过以下 mermaid 流程图来呈现：

graph LR
    classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px

    A(确定研究问题):::process --> B(定义总体):::process
    B --> C(选择抽样方法):::process
    C --> D{样本是否满足参数检验假设?}:::process
    D -->|是| E(进行参数检验):::process
    D -->|否| F(考虑数据转换或进行非参数检验):::process
    E --> G(进行假设检验):::process
    F --> G
    G --> H{是否拒绝原假设?}:::process
    H -->|是| I(接受备择假设):::process
    H -->|否| J(保留原假设):::process
    I --> K(评估效应量):::process
    J --> K
    K --> L(根据结果做出决策):::process

这个流程图展示了从确定研究问题开始，到最终根据统计结果做出决策的完整过程。在实际应用中，我们需要按照这个流程逐步进行，确保每个步骤都正确无误，从而得到可靠的研究结果。

10. 实际案例分析

为了更好地理解上述统计概念和方法的应用，我们来看一个实际案例。假设一位教育研究者想要比较两所学校学生的数学成绩是否存在显著差异。

10.1 确定研究问题和总体

研究问题：两所学校学生的数学成绩是否存在显著差异？
总体：两所学校的所有学生。

10.2 选择抽样方法

由于直接对两所学校的所有学生进行测试不太现实，研究者决定采用分层抽样的方法。将每所学校的学生按照年级进行分层，然后从每个年级中随机抽取一定数量的学生作为样本。

10.3 数据收集与初步分析

研究者收集了抽取样本学生的数学成绩数据，并进行初步分析。首先，检查数据的正态性和方差齐性，以确定是否满足参数检验的假设。

10.4 假设检验

原假设（$H_0$） ：两所学校学生的数学平均成绩没有显著差异。
备择假设（$H_A$） ：两所学校学生的数学平均成绩存在显著差异。

由于数据满足参数检验的假设，研究者选择使用独立样本 t 检验。通过 SPSS 软件进行分析，得到 t 值和对应的 p 值。

10.5 结果判断

假设得到的 p 值为 0.03，设定显著性水平 $\alpha$ 为 0.05。由于 $p < \alpha$，研究者拒绝原假设，接受备择假设，即认为两所学校学生的数学成绩存在显著差异。

10.6 效应量计算

为了评估差异的实际重要性，研究者计算了 Cohen’s d 效应量。通过 SPSS 输出的相关数据进行计算，得到效应量的值。假设效应量为 0.8，根据 Cohen 的标准，这表明两所学校学生的数学成绩差异具有较大的实际意义。

10.7 总结与决策

综合假设检验和效应量的结果，研究者可以得出结论：两所学校学生的数学成绩存在显著且具有实际意义的差异。这一结果可以为教育部门制定相关政策提供参考，例如是否需要对教学方法进行调整等。

11. 常见错误与注意事项

在进行统计分析时，有一些常见的错误和需要注意的事项，以下是一个列表总结：
- 抽样偏差 ：在选择抽样方法时，如果不注意随机性和代表性，可能会导致样本不能准确反映总体特征，从而使研究结果出现偏差。例如，在上述教育研究案例中，如果只抽取了某一个年级的学生作为样本，那么结果就不能推广到整个学校的学生群体。
- 假设检验错误 ：在进行假设检验时，要正确理解原假设和备择假设的含义，避免错误地拒绝或保留原假设。同时，要根据研究问题合理选择单尾或双尾检验。
- 参数检验假设违反 ：在使用参数检验时，必须确保数据满足正态分布、方差齐性等假设。如果不满足这些假设而强行使用参数检验，可能会得到错误的结果。此时，可以考虑进行数据转换或使用非参数检验。
- 效应量忽视 ：仅仅关注假设检验的显著性结果是不够的，还需要计算效应量来评估差异的实际重要性。否则，可能会得出一些在统计上显著但实际意义不大的结论。
- 自由度误解 ：自由度是一个重要的概念，在进行统计检验时要正确计算和理解自由度。不同的统计检验有不同的自由度计算公式，需要仔细查阅相关资料。