35、信号分析方法全解析

信号分析方法全解析

1. 信号平方与频谱特性

平方是一种非线性运算，例如均方根值的平方不能先在时域形成，再进行频谱分析。对于平稳随机信号，在足够长时间的平均下，功率谱密度与时间无关。若对该信号进行功率谱（PWR）分析（功率谱通常用于周期性信号），其功率谱取决于所使用窗函数的有效带宽。

以一个频率为 40 Hz、信号功率为 1 V² 的周期性信号为例，在不同有效带宽下，功率谱（PWR）和功率谱密度（PSD）有不同表现：
|有效带宽|Beff = 0.5 Hz|Beff = 0.25 Hz|
| ---- | ---- | ---- |
|功率谱（PWR）|1 V²|1 V²|
|功率谱密度（PSD）|2 V²/Hz|4 V²/Hz|

从这个例子可以看出，对于周期性信号，带宽（线间距）对功率谱的幅度没有影响，但功率谱密度的值取决于带宽，带宽减半会使周期性信号的功率谱密度加倍（或功率密度水平增加 +3 dB）。

再看一个频率无关的功率谱密度为 1 V²/Hz 的平稳随机信号，不同有效带宽下功率谱和功率谱密度的情况如下：
|有效带宽|Beff = 0.5 Hz|Beff = 0.25 Hz|
| ---- | ---- | ---- |
|功率谱（PWR）|0.5 V²/Hz|0.25 V²/Hz|
|功率谱密度（PSD）|1 V²/Hz|1 V²/Hz|

这表明，对于平稳随机信号，有效带宽（频率分辨率、线间距）对功率谱密度的幅度没有影响，但功率谱的幅度取决于带宽，带宽减半会使平稳随机信号的功率减半（或功率水平降低 -3 dB）。

2. 不同类型信号的表示方法

周期性信号使用功率水平表示，平稳随机信号使用功率谱密度表示。短期能量信号（脉冲、瞬态信号）则通过谱能量密度 E( f )（ESD）以实数量来描述，公式为：
[E( f ) = |X_T( f )|^2]

信号能量 W 可以通过对时间信号积分或对频谱中幅度的平方积分得到，公式如下：
[W = \int_{0}^{1} x^2(t)dt = \int_{-1}^{1} |X_T( f )|^2df = \frac{1}{2\pi} \int_{-1}^{1} |X_T(\omega)|^2d\omega]
这也是帕塞瓦尔定理的一种表达（时域信号能量 = 频域信号能量）。

如果瞬态信号完全适合块长度 T，则可以应用矩形窗。由于使用了矩形窗，不需要带宽校正因子，谱能量密度 E( f ) 不包括窗长度 T。这对于能量信号很有用，因为瞬态信号的能量与窗长度无关，但功率会随着窗长度的增加而减小。与功率谱密度 Gxx( f ) 一样，离散傅里叶变换（DFT）和平方的顺序不能颠倒。谱能量密度 E( f ) 的单位是 V²s/Hz 或 V²s²，通过平方，能量密度谱中会丢失相位信息（所有频率的相位角都为零）。

谱能量密度 E( f ) 可以理解为单个脉冲连续频谱的采样结果，得到的是能量密度。另一种处理能量信号的方法是将瞬态信号理解为例如脉冲的周期性序列。两种表示方式可以通过平方（得到功率 P( f )）、乘以块长度 T 并归一化到有效带宽 Beff 相互转换，公式为：
[E( f ) = \frac{P( f )}{B_{eff} \cdot T} = G_{xx}( f ) \cdot T]

通过零填充（zero padding）可以利用块长度 T 的影响，即在时间信号后面或前面添加额外的零。这样可以增加 DFT 中的线数 N，同时减小线间距 Δf 或有效带宽 Beff，从而在频谱中获得更高的频率分辨率。但这种频率分辨率的提高并不意味着信息的增加，只是在额外插入的支撑点处对频谱进行插值。该方法也用于快速傅里叶变换（FFT）算法，使现有信号达到 2 的幂次方长度。

不同基本信号类型的表示总结如下：
|信号类型|缩放方式|电平|
| ---- | ---- | ---- |
|周期性|幅度、峰值、幅值、MAG、RMS、RMS 功率、PWR、RMS²|信号电平、功率电平|
|随机|功率谱密度，PSD|功率密度电平|
|瞬态|能量密度，ESD|能量密度电平|

当不同类型的信号（如周期性和平稳随机信号）要在一个频谱中表示时，会出现表示困难的问题。周期性信号需要按功率等进行缩放，而平稳随机信号需要表示为谱功率密度。

3. 频谱的轴缩放

频谱中的轴缩放取决于各自的测量任务、所使用的传感器，以及适用的标准和法规规定。在频谱显示中，频率轴（横坐标）通常采用线性或对数缩放。
- 线性缩放 ：线性缩放的频率轴便于查找谐波，因为谐波之间是整数比关系，频率线看起来间距均匀。但随着最大频率的增加，显示中频率线之间的距离会越来越窄且不清晰，因此显示范围通常应限制在大约 1 - 2 个数量级。
- 对数缩放 ：对数缩放的频率轴可以覆盖更宽的频率范围，通常为 3 - 4 个数量级，是频带显示的标准方式。由于倍频程定义为 2:1 的频率比（例如 32 Hz 和 16 Hz、2000 Hz 和 1000 Hz 都是一个倍频程），在对数表示中，即使频带的绝对带宽不同，它们看起来宽度相同。但随着频率的增加，会有越来越多的线显示在狭窄的空间中，这会限制该频率范围内的可评估性。

纵坐标值根据测量任务可以线性或对数显示：
- 线性缩放 ：线性缩放可以表示大约 20:1 到 50:1 的幅度动态范围（对应约 13 - 34 dB）。对于 100 mm 的轴长，这个比例对应最小纵坐标间隔为 5 或 2 mm。因此，线性表示只能表示大致相等的幅度，无法实现大的幅度动态范围。
- 对数或电平缩放 ：对数或电平缩放可以将显示范围扩展到大约 10⁶:1（对应 120 dB），充分利用了传感器和 A/D 转换器的幅度动态范围。在对数刻度上也可以显示较小的幅度，这在小幅度对解释很重要的情况下（如状态监测）非常有利。对数缩放也符合人类对振动强度的感知（韦伯 - 费希纳定律），因此标准和法规几乎都基于对数评估尺度。

在频谱评估中，常使用线性频率缩放和对数幅度缩放作为电平的显示方式。此时，谐波在线性缩放的频率轴上表现为间距相等的线，通过幅度调制产生的边带也可以通过谐波分裂成对称的边线轻松识别。对数幅度缩放可以提供更丰富的细节。需要注意的是，最大幅度不一定是监测机器状态的最权威指标，在很多情况下，小幅度随时间的变化才是机器状态变化的指标。

如果选择对数频率缩放而不是线性频率缩放，频谱表示在低频段会被拉伸，在高频段会被压缩。双对数表示常用于在频谱中识别两个参数（斜率和截距）或通过幂函数方法实验验证数学关系，通过对数运算，指数会在频谱中表现为斜率，从截距可以读取一个参数。

4. 频谱中的微分和积分

在频谱中，使用复数运算可以很容易地进行微分和积分。微分相当于将每个频谱线乘以 jω，积分则是除以 jω。例如，可以通过对测量得到的加速度进行积分，得到速度或位移频谱。

这种方法除了计算规则简单外，还有一个优点是信号中的直流分量不会对积分结果产生干扰。而在时域积分中，直流分量会导致积分信号线性增加，这会耗尽信号的取值范围，最终导致数值溢出。但频谱中的幅度定义为正值也有缺点，在频谱中积分时，这些幅度除以角频率后仍然是正值，而时域积分会考虑正负幅度，积分后结果为零。因此，时域积分可能比频域积分获得更好的信噪比，频域积分常用于时域平均。

在频谱评估中，常使用快速频谱，原因如下：
- 对于许多机器，快速频谱的斜率较低（最大平坦准则），这种特性可以利用信号中的高幅度动态范围。反之，如果频谱在多个数量级上呈上升趋势，这部分幅度动态范围就已经被占用，无法用于测量任务。
- 在某些条件下，振动表面的辐射声功率 Pak 与速度的平方成正比，公式为：
[P_{ak} \sim \dot{x}^2]
使用压电加速度计测量加速度比测量速度更容易，因为加速度计的频率范围更广、质量更小，机械鲁棒性更强。通过对加速度进行积分，可以得到速度并继续使用生成的速度信号进行分析。

然而，微分和积分也有局限性。微分在高频段会使测量信号变得粗糙，因为乘以角频率会使频谱每十倍频程放大 +20 dB，同时叠加的高频干扰信号也会被放大。因此，测量位移信号并通过两次微分将其“转换”为加速度信号是没有意义的，因为干扰信号会每十倍频程放大 +40 dB。

在积分时，还必须考虑传感器的物理限制。由于信号除以角频率，高频信号分量会被平滑，同时低频分量会大幅增加，从而放大测量偏差。例如，压电加速度计在低频段的频率响应会变得非线性，导致较大的测量偏差。因此，只有频率响应允许的加速度计才能用于低频段加速度信号的积分。

5. 定向测量的实际设置

测量分析仪的设置对于获得正确和可用的结果至关重要，这些设置总是取决于具体的测量任务。以下是从测量任务中推导分析仪或评估程序设置的步骤：

5.1 准备测量任务

为了保证结果的质量和可解释性，首先要从内容上明确和界定测量任务，并形成预期的画面：要测量什么，期望得到什么结果。测量任务定义得越精确，预期表述得越具体，就越能针对性地解决测量任务。

例如，一台电机（M）通过齿轮箱（G）驱动离心泵（P），电机转速为 1500 rpm，齿轮箱电机侧有 100 个齿，泵侧有 250 个齿，泵有 8 个叶片。可以计算出：
- 电机频率：(f_M = \frac{1500}{60} = 25 Hz)
- 泵的频率：(f_P = f_M \cdot \frac{100}{250} = 10 Hz)
- 齿轮箱的齿啮合频率：(f_E = f_M \cdot 100 = 25 Hz \cdot 100 = 2500 Hz)
- 泵的叶片通过频率：(f_{SP} = f_P \cdot 8 = 10 Hz \cdot 8 = 80 Hz)

因此，预期频谱中会出现 10 Hz、25 Hz、80 Hz 和 2500 Hz 的频率线，并可以将它们分配到相应的组件。此外，由于齿轮啮合频率的边带、轴承振动和计算频率的高次谐波，可能会出现更多的频率线。

相反，如果规划和准备不足，即使在评估中投入更多的时间和精力也无法弥补。最坏的情况下，测量结果会被错误评估和解释，通常这种准备不足会导致重复测量，最轻的情况也会导致测量时间过长和数据量过大。

5.2 设置参数

以下是分析仪测量设置的参考，假设采用异步采样和平稳信号，这些设置可以提供频谱的初步且在大多数情况下可用的印象。可以先尝试这些设置，在后续的评估和解释步骤中再进行细化。如果相关标准和技术法规规定了其他设置，应优先采用。这些设置基于经验值，描述了常见的测量任务，可能不适用于特定的个别情况。
|设置|说明|
| ---- | ---- |
|频率范围|下限：零或最低转速（滚动轴承）或最低转速的一半（滑动轴承）；上限：被研究系统中最高频率的 3 次谐波（如齿啮合频率）|
|频率分辨率|分离相邻分量、边带，考虑干扰信号的影响|
|平均|周期性信号：3 - 5 次平均；平稳随机信号：按公式 14.68；线性平均，66.7% 重叠|
|测量时间|取决于频率范围、分辨率、平均和重叠；关键点：信号稳定性或现有记录的测量时间|
|窗函数|周期性和平稳随机信号：汉宁窗；脉冲：矩形窗|
|轴缩放|周期性信号：幅度、有效值（RMS）或功率（PWR）；平稳随机信号：功率谱密度（PSD）；脉冲：幅度或能量谱密度（ESD）|
|触发|测试目的：自由轮测量；瞬态信号：内部触发；高级过程：外部触发|

5.3 测试测量

设置完成后，建议进行测试测量或评估，需要在时域和频域对信号进行评估：
- 时域评估 ：
- 确保信号没有过载/限幅（如有必要，在低通滤波器前使用示波器测量）。
- 评估信号的稳定性和漂移。
- 分析信号的调制情况（估计调制频率，调制频率必须大于频率下限）。
- 保证有足够的噪声和信噪比（如果可能，进行无有用信号的测量）。
- 选择合适的窗函数，确保窗函数不会使相关信号部分衰减，对于矩形窗，信号在两个窗边界处的值必须为零。
- 频域评估 ：
- 评估频谱中的频率成分（使频率下限或上限与频谱形状匹配）。
- 评估频率分辨率（分离相邻频率和边带）。
- 评估噪声和信噪比（市电频率及其谐波，定性估计噪声）。
- 先不进行平均，然后进行平均评估（观察各个频谱的波动，评估平均的影响）。

综上所述，信号分析是一个复杂但有规律可循的过程，通过合理选择测量设置和分析方法，可以准确地获取信号中的信息，为各种应用提供有力支持。

信号分析方法全解析

6. 不同信号类型表示及轴缩放的总结与对比

为了更清晰地理解不同信号类型的表示方法以及频谱轴缩放的特点，我们将相关信息进行进一步总结和对比。

信号类型	适用表示	轴缩放特点
周期性信号	功率水平，如功率谱（PWR）	频率轴线性缩放便于找谐波，幅度可用线性或对数缩放；线性缩放幅度动态范围有限，对数缩放可覆盖大动态范围且符合人类感知
平稳随机信号	功率谱密度（PSD）	频率轴线性或对数缩放，对数缩放覆盖宽频范围；幅度对数缩放可显示小幅度细节
瞬态信号	谱能量密度 E( f )（ESD）	频率轴和幅度轴缩放根据具体情况选择，矩形窗用于瞬态信号完全在块长度 T 内时，无需带宽校正因子

从这个表格可以看出，不同信号类型在表示和轴缩放方面有明显的差异。周期性信号注重功率的表示，平稳随机信号关注功率谱密度，而瞬态信号则以谱能量密度为主要表示方式。轴缩放的选择则根据信号特点和测量需求来确定，以达到最佳的显示和分析效果。

7. 微分和积分操作的流程及影响

在频谱中进行微分和积分操作有其特定的流程和影响，下面通过一个 mermaid 流程图来展示其操作流程：

graph LR
    A[测量加速度信号] --> B[频谱转换]
    B --> C{选择操作}
    C -->|微分| D[乘以 jω]
    C -->|积分| E[除以 jω]
    D --> F[得到微分后频谱]
    E --> G[得到积分后频谱]

从这个流程图可以清晰地看到，首先对测量得到的加速度信号进行频谱转换，然后根据需求选择微分或积分操作。微分操作是将每个频谱线乘以 jω，积分操作则是除以 jω，最终得到相应的频谱。

微分和积分操作对信号有不同的影响：
- 微分影响 ：会使测量信号在高频段变得粗糙，因为乘以角频率会使频谱每十倍频程放大 +20 dB，同时叠加的高频干扰信号也会被放大。例如，测量位移信号并通过两次微分将其“转换”为加速度信号，干扰信号会每十倍频程放大 +40 dB，导致信号质量下降。
- 积分影响 ：高频信号分量会被平滑，低频分量会大幅增加，从而放大测量偏差。特别是在使用压电加速度计时，其在低频段的频率响应会变得非线性，导致较大的测量偏差。因此，在进行积分操作时，需要考虑传感器的物理限制。

8. 定向测量设置的重要性及操作要点

定向测量的设置对于准确获取信号信息至关重要，下面我们再次梳理其操作要点。

8.1 准备测量任务要点

• 明确测量目标：清晰界定要测量的内容和期望得到的结果，例如在电机驱动离心泵的例子中，明确各组件的频率特征，预期频谱中出现的频率线。
• 避免准备不足：规划和准备不足会导致测量结果不准确、重复测量或数据量过大等问题，因此要充分考虑各种可能的因素。

8.2 设置参数要点

设置项目	要点说明
频率范围	下限根据轴承类型选择合适的值，上限要考虑系统中最高频率的 3 次谐波，以确保能覆盖所有可能的频率成分。
频率分辨率	要能有效分离相邻分量和边带，同时考虑干扰信号的影响，以保证频谱的清晰度。
平均	根据信号类型选择合适的平均次数和重叠比例，周期性信号一般 3 - 5 次平均，平稳随机信号按特定公式计算。
测量时间	要综合考虑频率范围、分辨率、平均和重叠等因素，确保信号稳定且测量时间合理。
窗函数	根据信号类型选择，周期性和平稳随机信号用汉宁窗，脉冲用矩形窗，以减少频谱泄漏等问题。
轴缩放	根据信号类型选择合适的缩放方式，周期性信号关注幅度、有效值或功率，平稳随机信号关注功率谱密度，脉冲关注幅度或能量谱密度。
触发	根据测量目的和信号类型选择触发方式，测试时可采用自由轮测量，瞬态信号用内部触发，高级过程用外部触发。

8.3 测试测量要点

• 时域评估要点 ：
  • 信号完整性：确保信号没有过载或限幅，可在低通滤波器前使用示波器测量。
  • 稳定性和漂移：评估信号在时间上的稳定性，避免因信号漂移导致测量误差。
  • 调制分析：准确估计调制频率，确保调制频率大于频率下限。
  • 信噪比：保证有足够的信噪比，可通过无有用信号的测量来评估。
  • 窗函数选择：选择合适的窗函数，避免相关信号部分被衰减。
• 频域评估要点 ：
  • 频率成分匹配：使频率下限或上限与频谱形状匹配，确保能准确捕捉到所有重要的频率成分。
  • 频率分辨率：评估频率分辨率是否能有效分离相邻频率和边带。
  • 噪声评估：关注市电频率及其谐波等噪声源，定性估计噪声水平。
  • 平均影响：观察平均操作对频谱的影响，评估平均次数是否合适。

9. 信号分析的整体流程总结

为了更直观地展示信号分析的整体流程，我们使用 mermaid 流程图进行总结。

graph LR
    A[明确测量任务] --> B[设置测量参数]
    B --> C[进行测试测量]
    C --> D{测试结果是否满意}
    D -->|否| B
    D -->|是| E[进行正式测量]
    E --> F[信号分析（微分、积分等）]
    F --> G[频谱显示与评估（轴缩放等）]
    G --> H[得出分析结论]

从这个流程图可以看出，信号分析是一个循环迭代的过程。首先要明确测量任务，然后设置测量参数并进行测试测量。如果测试结果不满意，需要重新调整测量参数；如果满意，则进行正式测量。正式测量后进行信号分析，如微分和积分操作，接着进行频谱显示和评估，最后得出分析结论。

10. 实际应用中的注意事项

在实际应用信号分析方法时，还需要注意以下几点：
- 信号混合问题 ：当不同类型的信号（如周期性和平稳随机信号）要在一个频谱中表示时，会出现表示困难的问题。需要根据具体情况选择合适的表示方式，或者进行两次单独的测量。
- 传感器选择 ：传感器的性能会直接影响测量结果，特别是在进行微分和积分操作时，要考虑传感器的频率响应、带宽等因素。
- 标准和法规遵循 ：在实际测量中，要遵循相关的标准和法规，优先采用规定的测量设置和分析方法。

通过对信号分析方法的全面解析，我们了解了不同信号类型的表示方法、频谱轴缩放的特点、微分和积分操作的原理以及定向测量的设置要点。在实际应用中，我们要根据具体的测量任务和信号特点，合理选择分析方法和测量设置，以准确获取信号中的信息，为各种应用提供有力支持。