5、受迫振动的原理与应用解析

受迫振动的原理与应用解析

1. 受迫振动概述

在周期性力和运动的外部影响下，振荡系统中会激发受迫振动。这种情况在实际中非常重要，一方面会出现在待测量的物体上，如组件、车辆、基础、建筑物等；另一方面，振动传感器本身也可能是振荡系统。对受迫振动的研究为测量任务的规划和结果的理解奠定了基础。

2. 恒定力幅的弹簧力激励

在激励力 (F) 的作用下，研究振荡系统中的振动响应 (x)。通过在垂直方向上的重心处进行力的平衡分析，得到非齐次微分方程：
(- m\ddot{x} - d\dot{x} - kx = - F(t))

假设激励力是具有可变激励角频率 (\Omega) 和振幅 (F) 的谐波函数，在极坐标形式下为：
(F(t) = F \cdot e^{j\Omega t})

为简化求解，假设零相角为零，且力不依赖于振荡响应，即振荡系统对力没有反馈。振动响应 (x) 及其导数被假设为具有相角 (\varsigma) 的相量：
(x(t) = x \cdot e^{j(\Omega t - \varsigma)})
(\dot{x}(t) = j\Omega x e^{j(\Omega t - \varsigma)})
(\ddot{x}(t) = - \Omega^2 x e^{j(\Omega - \varsigma)})

在实际中，通常关注系统的稳态运动，即在周期性激励力作用下所有瞬态过程衰减后出现的状态。因此，寻求非齐次微分方程的特解，将上述式子代入微分方程可得：
(- \Omega^2 m x e^{j(\Omega t - \varsigma)} + j