2、一维振动系统及受迫振动分析

一维振动系统及受迫振动分析

1. 一维振动系统基础

在一维振动系统中，能量的相关计算是重要的基础内容。对于一个无损耗的系统，其总能量(E)等于势能(E_p)与动能(E_k)之和，即(E = E_p + E_k)。由于(K = m\omega_0^2)且(\sin^2(\cdot) + \cos^2(\cdot) = 1)，可得(E = \frac{1}{2}KA^2 = \frac{1}{2}m\omega_0^2A^2 = \frac{1}{2}mU^2)，其中(U)代表最大速度。在这样的系统中，能量是恒定的，且等于最大势能（在最大偏移处）或最大动能（在中心点）。

为了描述振荡器的运动，我们常常会用到有效值或均方根值（RMS）。对于一个能代表物理量的信号(x(t))，其有效值或均方根值定义为：
[x_{RMS} = \lim_{T \to \infty} \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} |x(t)|^2 dt}]
对于周期信号，它等于信号一个周期的均方根值。对于正弦量，(x_{RMS} = \frac{A}{\sqrt{2}})，其中(A)是振荡的振幅。

在物理建模中，质量(m)和弹簧(K)通常被视为集中在一个点上，这种模型被称为集总参数模型。在某些假设下，它可以近似分布系统的行为，在电气、机械和声学系统中都很有用。特别地，质量(m)可以被看作是一个基本声源，它将运动传递给与其接触的介质粒子。

2. 阻尼谐振子

在实际系统中，阻力或摩擦损耗不能再被忽略（(R > 0)）。考虑到(\alpha = \frac{R}{2m})和(\omega_0^2 = \frac{K}{m})的替