35、量子信息中的AFL熵与算法复杂度

量子信息中的AFL熵与算法复杂度

1. AFL熵与量子信道容量

1.1 编码方案

经典信源发射的符号串 (i(n)) 可以通过量子码字进行编码。一种编码协议使用量子动力系统 ((A, Θ, ω)) 和CPU映射 (M(A0) \ni E : A \to A)，在每个时间步 (t = j)（(1 \leq j \leq n)），用CPU映射 (Eij) 扰动状态 (\omega) 来对字符串 (i(n) = i1i2 \cdots in) 进行编码。

CPU映射由有限个Kraus算子构成，(A \ni A \to Eij[A] = \sum_{k\in I(ij)} X^{\dagger} {ijk} A Xijk)，其中 (Xijk \in A0)，且 (\sum {k\in I(ij)} X^{\dagger}_{ijk}Xijk = 1l)，索引集 (I(ij)) 具有有限基数。当CPU映射是双随机时，记为 (E \in Mb(A0))，此时它们是熵增的；当 (Xijk) 是酉算子时，记为 (E \in Mu(A0))，且 (Mu(A) \subset Mb(A0) \subset M(A0))。

为了进行明确的编码，引入GNS三元组 ((Hω, Uω, Ωω))，设 (\overline{Xijk} := πω(Xijk))，则CPU映射 (Eij) 在 (B(Hω)) 上的GNS表示为 (\overline{Eij}[\overline{B}] = \sum_{k\in I(ij)} \overline{X}^{\dagger} {ijk} \overline{B} \overline{Xijk})，其对偶映射 (\