34、Python 实现自动求导：原理与实践

Python 实现自动求导：原理与实践

1. 导数规则基础

在微积分中，复合函数求导遵循链式法则。若函数 $f(x)$ 可表示为 $f(x) = g(h(x))$，则其导数为 $f’(x) = h’(x) · g’(h(x))$。例如，求 $\ln(\cos(x))$ 的导数，已知 $g’(x) = 1/x$，$h’(x) = -\sin(x)$，代入链式法则可得：
$f’(x) = h’(x) · g’(h(x)) = -\sin(x) · \frac{1}{\cos(x)} = -\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$
又因为 $\frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \tan(x)$，所以 $\ln(\cos(x))$ 的导数可简洁表示为 $\tan(x)$。

2. 练习题解析

2.1 验证 $f(x) = x^5$ 的导数

要证明 $f(x) = x^5$ 的导数为 $f’(x) = 5x^4$，可通过绘制数值导数和符号导数的图像进行验证。代码如下：

def p(x):
    return x**5
plot_function(derivative(p), 0, 1)
plot_function(lambda x: 5*x**4, 0, 1)

运行上述代码后，两个图像会完全重叠，从而验证了导数的正确性。

2.2 证明求导是线性变换

将单变量函数视为向量空间，若把求导看作函数 $D$，它以函数为输入，输出其导数。对于函数 $f$ 和 $g$，