24、直线交点的求解与应用

直线交点的求解与应用

1. 直线标准方程的推导

在平面几何中，我们常常需要确定直线的方程。以向量相关知识为基础，通过一系列代数运算，可以推导出直线的标准方程。

假设已知直线上的两个点((x_1, y_1))和((x_2, y_2))，首先可以得到直线的参数方程：
((x, y) = (x_1, y_1) + t \cdot (x_2 - x_1, y_2 - y_1))
将其拆分为两个方程：
(x = x_1 + t \cdot (x_2 - x_1))
(y = y_1 + t \cdot (y_2 - y_1))
为了消去参数(t)，我们进行如下操作：
将第一个方程两边乘以((y_2 - y_1))，第二个方程两边乘以((x_2 - x_1))，得到：
((y_2 - y_1) \cdot (x - x_1) = t \cdot (x_2 - x_1) \cdot (y_2 - y_1))
((x_2 - x_1) \cdot (y - y_1) = t \cdot (x_2 - x_1) \cdot (y_2 - y_1))
由于等式右边相同，所以左边也相等，即：
((y_2 - y_1) \cdot (x - x_1) = (x_2 - x_1) \cdot (y - y_1))
展开并整理可得标准方程(ax + by = c)的形式，其中：
(a = (y_2 - y_1))
(b = -(x_2 - x_1))
(c = x_1y_2 - x_2y_1)

下面通过具体例子来验证这个公式。已知两点((x_1, y_1) = (2,