18、向量、矩阵变换与高维空间的探索

向量、矩阵变换与高维空间的探索

1. 矩阵平移向量

将平移操作封装为矩阵运算后，就能将其与其他 3D 线性变换结合，一步完成多种变换。在这个设置中，人为添加的第四坐标可解释为时间 $t$。

例如，图中的两个图像可以看作是茶壶在 $t = 0$ 和 $t = 1$ 时刻的快照，茶壶正以恒定速度沿 $(2, 2, -3)$ 方向移动。若想挑战一下，可以将实现中的向量 $(x, y, z, 1)$ 替换为 $(x, y, z, t)$ 形式的向量，其中坐标 $t$ 随时间变化。当 $t = 0$ 和 $t = 1$ 时，茶壶应与图中的帧匹配，在这两个时刻之间，它应在两个位置之间平滑移动。

1.1 练习题

• 练习 1 ：证明当把如恐龙这样的 2D 图形移动到平面 $z = 2$ 时，3D “神奇” 矩阵变换不起作用，会发生什么？
  • 解答 ：使用 [(x,y,2) for x,y in dino_vectors] 并应用相同的 3×3 矩阵，恐龙会被向量 $(6, 2)$ 平移，是 $(3, 1)$ 的两倍。这是因为向量 $(0, 0, 1)$ 被 $(3, 1)$ 平移，且变换是线性的。
• 练习 2 ：想出一个矩阵，将恐龙在 $x$ 方向平移 -2 个单位，在 $y$ 方向平移 -2 个单位。执行变换并展示结果。
  • 解答 ：将原始矩阵中的值 3 和 1 替换为 -2