14、向量与图形变换：线性变换与矩阵的计算

向量与图形变换：线性变换与矩阵的计算

1. 线性变换的基础概念

线性变换在向量和图形的处理中扮演着重要角色。与非线性变换不同，线性变换尊重向量的代数和几何性质。例如，非线性变换 (S(v)) 将向量 (v = (x, y)) 变换为 ((x^2, y^2))，会使线段发生扭曲，一个由向量 (u)、(v) 和 (w) 定义的三角形，经过 (S) 变换后不再是由 (S(u))、(S(v)) 和 (S(w)) 定义的三角形。

而线性变换能保持向量的和、标量倍数以及线性组合，同时将由向量定义的线段和多边形变换为新的线段和多边形。线性变换不仅在几何角度上表现良好，而且计算也相对容易。

2. 向量的分解与标准基

任何 3D 向量都可以分解为三个向量 ((1, 0, 0))、((0, 1, 0)) 和 ((0, 0, 1)) 的线性组合。这三个向量被称为三维空间的标准基，分别记为 (e_1)、(e_2) 和 (e_3)。例如，向量 ((4, 3, 5)) 可以分解为 (4 · (1, 0, 0) + 3 · (0, 1, 0) + 5 · (0, 0, 1))，即 (4e_1 + 3e_2 + 5e_3)。

在 2D 空间中，标准基为 (e_1 = (1, 0)) 和 (e_2 = (0, 1))，如向量 ((7, -4)) 可表示为 (7e_1 - 4e_2)。这种向量的分解方式为计算线性变换提供了便利。

3. 线性变换的计算

由于线性变换尊重线性组合，计算线性变换只需要知道它对标准基向量的影响。以 2D 向量变换 (T) 为例，若已知 (T(e_1)) 和 (T(e_2))，对于任意向量 (v = (3