10、向量运算：点积与叉积的奥秘

向量运算：点积与叉积的奥秘

1. 点积：衡量向量对齐程度

1.1 点积的重要应用

点积的一个重要应用是让我们无需使用三角函数就能判断两个向量是否垂直。当两个向量的夹角小于 90°时，它们的点积为正；当夹角大于 90°时，点积为负。在了解如何计算点积之前，我们先掌握了如何解读点积的值。

1.2 点积的计算方法

给定两个向量的坐标，计算点积的公式很简单：将对应坐标相乘，然后将乘积相加。例如，对于向量 (1, 2, –1) 和 (3, 0, 3)：
- x 坐标的乘积：1 * 3 = 3
- y 坐标的乘积：2 * 0 = 0
- z 坐标的乘积：-1 * 3 = -3
- 点积：3 + 0 + (-3) = 0

这表明这两个向量是垂直的。

在 Python 中，我们可以编写一个点积函数来处理任意具有相同坐标数量的向量对：

def dot(u, v):
    return sum([coord1 * coord2 for coord1, coord2 in zip(u, v)])

1.3 点积的示例分析

• 不同轴上的向量 ：位于不同轴上的两个向量的点积为 0，因为它们是垂直的。例如：

print(dot((1, 0), (0, 2)))  # 输出: 0
print(dot((0, 3, 0)