46、从线性划分到平行四边形多联骨牌

从线性划分到平行四边形多联骨牌

1. 引言

多联骨牌作为组合对象，是笛卡尔二维平面中边与边相邻的有限连通正方形单元格集合。它在多个领域频繁出现，且不同领域间存在有趣的重叠和交互：
- 枚举组合学 ：根据面积、周长等特征对多联骨牌的多个家族进行了刻画和计数，某些情况下还给出了生成函数。
- 双射组合学 ：多联骨牌 $P$ 可由 $N×N$ 格中的一对适当路径描述，这将多联骨牌与格路径理论联系起来。
- 二维语言理论和图像处理 ：多联骨牌被视为二维单词，特定的多联骨牌家族成为具有特定属性的二维语言，还会考虑从部分信息中重建多联骨牌的问题。
- 平铺理论 ：瓷砖形状可用多联骨牌描述。

本文聚焦于平行四边形多联骨牌，它由 $N×N$ 格中由北和东步组成的两条路径界定，且仅在起点和终点相交。该类多联骨牌最早由波利亚研究，他计算了其关于周长的数量，并给出了按周长和面积的生成函数（非封闭形式）。此前也有研究给出了周长为 $2n + 2$ 的平行四边形多联骨牌与长度为 $2n$ 的迪克单词之间的双射，还探讨了平行四边形多联骨牌与二维语言的关系，以及用 ECO 方法递归生成半周长为 $n$ 的平行四边形多联骨牌。

本文揭示了面积为 $n$ 的平行四边形多联骨牌与整数划分对 $(s, t)$ 之间的自然双射，其中 $t$ 是整数 $m$ 的划分，$s$ 是整数 $m + n$ 的划分。基于此双射，提供了一个用于穷举生成给定面积的所有平行四边形多联骨牌的算法，该算法的时间复杂度为常数均摊时间（CAT），即若面积为