24、整数规划与不规则多联骨牌平铺及非凸多边形覆盖问题研究

整数规划与不规则多联骨牌平铺及非凸多边形覆盖问题研究

在数学和实际应用领域，不规则多联骨牌平铺问题以及非凸多边形的覆盖问题一直是研究的热点。本文将深入探讨这两个问题，介绍相关的整数规划模型和迭代算法，并通过实验结果分析其性能。

不规则多联骨牌平铺问题

不规则多联骨牌平铺问题在多个领域有着广泛的应用，如计算机图形学和机械工程等。在相控阵天线设计中，该问题的应用尤为重要。相控阵天线由多个固定天线元件组成，通过相位控制和延时装置来扫描波束。为了降低成本和减少旁瓣辐射，可采用子阵列技术，而不规则多联骨牌子阵列在减少旁瓣方面具有显著优势。

问题背景

多联骨牌是由一定数量的等大小正方形沿边连接而成的形状。在不规则多联骨牌平铺问题中，我们考虑用L形三格骨牌对有限的NxN大小的正方形结构进行平铺，且对骨牌数量没有限制，每个L形三格骨牌可以旋转90°，有四种不同的方向。

模型构建

• 整数规划模型
  • 基本模型T1 ：目标是用骨牌填满整个结构，即最大化变量之和，同时保持骨牌的形状。
    [
    \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} (z_{i,j} + w_{i,j} + s_{i,j} + d_{i,j}) \to \max
    ]
    其中，(z_{i,j}, w_{i,j}, s_{i,j}, d_{i,j} \in {0, 1})，表示每个方向的L形三格骨牌是否以((i, j))为中心。同时，有一系列约束条件确保骨牌不重叠，包括内部单元格和边界单元格的约束。