振荡曲线绘制与物理系统分析

1、绘制一个一次振荡的时间曲线，同时绘制另一次振荡的时间曲线，该振荡与第一次振荡振幅和初始相位项相同，但频率不同。对于振幅不同、相位和频率相同的情况，重复上述操作。最后，给出此类草图的第三种变体并绘制相应草图。

本题需绘制草图。

1. 首先，绘制一次振荡的时间曲线。
2. 再绘制振幅和初始相位相同但频率不同的另一次振荡的时间曲线。
3. 接着，绘制相位和频率相同但振幅不同的振荡时间曲线。

对于第三种变体，可能是频率、振幅和初始相位都不同的振荡时间曲线，需根据具体情况确定，然后绘制出相应草图。

2、假设我们有一个弹簧振子在地球上以一定的周期上下振动，然后将这个弹簧和物体带到月球上，周期会改变吗？

不会。弹簧振子的周期只与弹簧劲度系数和物体质量有关，与重力加速度无关，地球和月球上弹簧劲度系数和物体质量不变，所以周期不变。

3、证明小振幅数学摆的周期为 T = 2π√(L/g)，其中 L 是摆长，g 是重力加速度。提示：使用关系 τ = Iα（其中 τ 是扭矩，I 是转动惯量（mL²），α 是角加速度）来证明运动方程为 ¨θ(t) = - (g/L) sin θ，然后对小角度的正弦使用常用近似方法。

1. 首先，根据扭矩公式和转动惯量公式推导运动方程：

• 已知扭矩 τ = Iα，其中 I 是转动惯量，α 是角加速度，对于数学摆，转动惯量 I = mL²，角加速度 α = ¨θ。
• 作用在摆上使它向平衡位置运动的力 Fθ = -mg sin θ，力 Fθ 绕支点（悬挂点）的力矩 τ = -mgL sin θ。
• 因为 τ = Iα，将 I = mL² 和 α = ¨θ 代入 τ = Iα 中，得到 mL²¨θ = -mgL sin θ。
• 两边同时除以 mL²，化简可得 ¨θ = - (g/L) sin θ。

2. 然后，对小角度进行近似：

• 当角度 θ 很小时，sin θ ≈ θ。此时运动方程变为 ¨θ = - (g/L)θ。
• 该方程是一个二阶齐次常系数微分方程，其标准形式为 ¨θ + ω²θ = 0，这里 ω² = g/L，即 ω = √(g/L)，ω 是角频率。

3. 最后，根据角频率与周期的关系求出周期：

• 角频率 ω、频率 f 和周期 T 之间的关系为 ω = 2πf，T = 1/f。
• 由 ω = √(g/L) = 2πf，可得 f = (1 / 2π)√(g/L)。
• 再根据 T = 1/f，得到 T = 2π√(L/g)。

所以，小振幅数学摆的周期为
T = 2π√(L/g) 。

4、对于一个弹簧振子，施加的力与振子振幅之间的相位差会随施加力的频率而变化。在共振频率以及远低于和远高于共振频率时，相位差分别是怎样的？

在共振频率时，相位差近似等于 π/2，即输出相对于施加的力在相位上滞后约 π/2；

• 当施加频率低于“自然”频率（远离共振）时，相位差小于 π/2；
• 当施加频率高于“自然”频率（远离共振）时，相位差大于 π/2。

5、如果我们的听力（通过自然选择）能比现在更好地区分相近频率的声音，会有什么弊端？

若听力能更好地区分相近频率声音，可能会削弱跟随声音快速变化的能力。因为耳朵是一个在区分不同频率能力和跟随声音快速变化能力之间存在最优关系的系统，一方能力增强可能导致另一方能力减弱。

6、对于机械系统，振幅与外加力之间的相位差为π/2，这是因为这种相位差对应着外力向系统提供最大功率（在最长可能路径上施加最大力）。请用类似的方式解释具有谐波变化外加电压的RCL电路中的相位差。

在RCL电路中，功率由电压和电流共同决定，功率公式为
$$ P = F \cdot v $$
（力学中类比，电路里与电压和电流相关）。

• 当 $ R = 0 $ 时，电流相对外加电压有 $ 90^\circ $ 相移；
• 若 $ L = 0 $，电流超前电压 $ 90^\circ $；
• 当 $ \omega_F L $ 远大于 $ \frac{1}{\omega_F C} $ 时，电流滞后电压 $ 90^\circ $；
• 当 $ R \neq 0 $ 且 $ L\omega_F - \frac{1}{C\omega_F} = 0 $，即
  $$ \omega_F = \frac{1}{\sqrt{LC}} $$
  时，电流和电压同相。

从功率角度看，当电流和电压同相时，二者的点积最大，此时外力（电压）向系统（电路）提供最大功率，就如同机械系统中相位差对应最大功率一样。

在RCL电路里，通过相量图能直观看到电流和电压的相位关系，电压和电流相位差在 $ +90^\circ $ 和 $ -90^\circ $ 之间变化，不同的相位差对应着不同的功率传输情况。

7、将交流电压V (t) = V1 cos(ωFt)施加到一个电振荡电路中，ωF等于该电路的共振（角）频率。经过很长时间后，电路中的振荡稳定下来，电流波动的振幅为I1。从交流电压接入电路到电流