54、受限 Dyck 路径、多联骨牌与非交叉划分的关联

受限 Dyck 路径、多联骨牌与非交叉划分的关联

1. 引言

在数学的组合学领域，Dyck 路径、多联骨牌和非交叉划分是几个重要的研究对象。

Dyck 路径是在 $xy$ 平面第一象限内的格路径，它始于原点，终于 $x$ 轴，且由相同数量的东北步 $U=(1, 1)$ 和东南步 $D=(1, -1)$ 组成。其中，形如 $DU$ 的子路径被称为谷，谷顶点则是 $DU$ 子路径的最低点（局部最小值）。我们定义向量 $\nu = (\nu_1, \nu_2, \ldots, \nu_k)$ 为谷顶点向量，它由 Dyck 路径所有谷顶点的 $y$ 坐标（从左到右排列）构成。

对于固定的 $d \in \mathbb{Z}$，我们引入了一种新的格路径家族，称为受限 $d$-Dyck 路径（为简便起见，简称 $d$-Dyck 路径）。具体而言，若 Dyck 路径 $P$ 满足以下两个条件之一，则它是 $d$-Dyck 路径：一是 $P$ 最多有一个谷；二是其谷顶点向量 $\nu$ 满足 $\nu_{i + 1} - \nu_i \geq d$（其中 $1 \leq i < k$）。例如，当 $\nu = (0, 2, 5, 7)$ 且 $\nu_{i + 1} - \nu_i \geq 2$（$1 \leq i < 4$）时，该路径就是长度为 28（半长度为 14）的 2-Dyck 路径。另外，0-Dyck 路径在文献中被称为非递减 Dyck 路径；当 $d \to -\infty$ 时，就得到了普通的 Dyck 路径。

多联骨牌方面，若对于多联骨牌 $P$ 中的任意给定单元格 $c \in P$，都存在一条完全包含在 $P$ 内的路径，该路径仅使用向北和向