α-µ衰落下DL-NOMA性能分析

下行非正交多址在 α‐µ广义衰落信道下的性能分析

摘要

本文针对信道增益服从 α‐µ衰落分布的下行链路非正交多址接入（DL‐NOMA）系统进行了性能分析。具体而言，推导了DL‐NOMA在中断概率（OP）、误码率（BER）和遍历容量（EC）方面的闭式表达式。OP分析考虑了两种主要场景：第一种是各用户的数据速率需满足特定服务质量（QoS）要求；第二种是各用户的非正交多址速率低于传统正交多址（OMA）速率的情况。此外，所推导的误码率性能进一步推广至M‐元正交幅度调制（MQAM）情形。结果表明，系统性能、功率分配系数、目标数据速率以及信道衰落参数之间存在相互影响。而且，OP结果揭示了采用OMA数据速率的非正交多址用户相比采用固定目标数据速率的非正交多址用户具有更高的中断概率。所推导表达式的准确性通过大量蒙特卡洛仿真得到验证。

索引词 —非正交多址接入（NOMA），中断概率（OP），遍历容量（EC）， α‐µ衰落。

一、引言

NON-orthogonal 非正交多址（NOMA）被认为是一种有前景的技术，可用于未来无线通信，因为它允许多个用户在同一时间共享相同的传输资源，从而提高频谱效率。

在功率域NOMA中，基站（BS）在同一时隙和频段内向所有用户广播叠加信号，但使用不同的功率值。通常情况下，信道条件较差的用户被分配比信道条件较好的用户更多的功率。因此，高功率用户可以通过将低功率信号视为加性噪声来检测其信号。而低功率用户，即信道条件较好的用户，则可以利用连续干扰消除（SIC）[2]来检测其信号。

由于其理想的特性，非正交多址（NOMA）在文献中得到了广泛研究。例如，Baidaset al. [3]尝试在独立但不相同分布（i.n.i.d）的瑞利衰落信道下，从信噪比（SNR）、可实现比特率和中断概率（OP）的角度分析下行链路非正交多址（DL‐NOMA）。在[4],中，针对 η‐µ和 κ‐µ衰落信道，在预定义目标数据速率条件下分析了DL‐NOMA与正交多址（OMA）系统的中断概率（OP）性能。结果表明，对于给定的目标数据速率，NOMA的中断概率低于OMA。在[5],中提出了对Nakagami‐m衰落信道下NOMA的中断概率研究，获得了适用于多种分集阶数的各个用户及整个系统的精确闭式表达式。Agarwalet et al. [6]研究了在Gamma分布之和信道下的下行链路和上行链路场景中多个非正交多址用户（NOMA users）的中断概率，得到了中断概率的闭式表达式。该研究考虑了统计信道状态信息（CSI）以及基于瞬时 CSI的排序方案，并分别提供了下行链路和上行链路场景下的分集阶数和中断平层的解析表达式。此外，协作非正交多址系统（cooperative NOMA system）的中断概率（OP）和遍历容量（EC）性能指标也得到了研究。在[7],中，作者提出了基于上行NOMA的协作方案的中断概率和有效容量分析，给出了瑞利衰落信道下中断概率和有效容量的精确解析表达式。在[8]中还研究了 κ‐µ阴影衰落信道下的NO MA，评估了其有效容量（EC）。结果表明，多径簇数量的增加对非正交多址增益（NOMA gain）和用户性能具有显著影响。此外，在[9],中研究了多个非正交多址用户在服务质量（QoS）要求下的有效容量，结果表明NOMA优于正交多址（OMA）。

非正交多址（NOMA）的误码率（BER）性能在文献中也得到了研究。例如，Kara和Kaya[10]研究了下行链路和上行NOMA的BER，其中采用相移键控（PSK）调制，并在不完美SIC条件下推导出瑞利衰落信道下的精确闭式BER表达式。结果展示了在不同功率分配和信道质量情况下，不完美SIC对下行链路和上行链路场景的影响。此外，在[11]中针对采用二进制相移键控（BPSK）的 NOMA系统进行了BER研究，获得了闭式BER表达式。该研究涵盖了SIC过程的理想和实际场景，结果表明，在考虑理想SIC时，高信噪比下可实现分集增益和阵列增益。然而，在不完美SIC情况下，系统性能在高信噪比时表现出错误平层。文献[12]研究了上行NOMA的误码率性能，揭示并推导了非对称信道下双用户NOMA的边界值。此外，该研究的作者还推导了上行NOMA用户在边界值两侧的误码率表达式的闭式解。与以往研究不同，文献[13]的作者尝试在基站配备多根天线的情况下，采用联合最大似然检测器（ML）而非SIC，来研究上行NOMA方案的误码率性能。此外，通过考虑正交相移键控（QPSK）调制，获得了推导出的误码率闭式表达式，结果表明ML检测器性能显著优于SIC。Lee和Kin [14]研究了在不完美SIC条件下采用正交幅度调制（QAM）的NOMA符号错误率（SER），针对瑞利衰落信道下的各个DL‐NOMA用户给出了精确的闭式表达式。文献[15]和[16]研究了多种NOMA通信系统和调制方案的误码率性能。更具体地，Assasfetal.[15]推导了中村‐m衰落信道下双用户和三用户场景中不完美 SIC的精确误码率表达式，而[16]推导了误码率的上界。此外，这两项工作均考虑了最小化平均误码率的最优功率分配，并实现了不同用户之间的公平性。此外，我们在 [1]中的近期工作研究了NOMA在 α‐η‐µ广义衰落信道下的性能。然而，该项工作仅考虑了误码率性能，且局限于双用户场景。

在[17],中，针对协作检测与转发（DF） DL‐NOMA采用了 α‐µ衰落模型，并对中断概率和平均信道容量进行了分析。作者考虑了一个用户的数据通过中继传输到目的地的系统。结果表明，由于在两个时隙内传输了两个数据符号，而传统中继系统仅传输一个符号，因此系统效率得到提高。尽管该研究考虑了 α‐µ衰落信道模型，但所提出的分析不能直接应用于非协作NOMA，因为在非协作NOMA中每个数据符号属于不同的用户，且当用户数量超过两个时，发射机/接收机需要支持多于两个的复用信号。此外，该研究未提供误码率分析。

A. 动机与贡献：

尽管现有文献对非正交多址（NOMA）进行了大量研究，但在 α‐µ衰落信道下探讨NOMA不同性能指标的工作仍较少。因此，本研究至关重要，因为它提供了对NOMA系统的全面分析，并深入揭示了 α‐µ信道变化对NOMA系统的影响。具体而言，本文的主要贡献总结如下：

• 推导了在 α‐µ衰落信道下，双用户和三用户NOMA的精确中断概率表达式约束条件。当中断概率的用户数据速率需求低于特定 QoS要求时，将验证中断概率。此外，我们还考虑了非正交多址用户速率低于正交多址用户的情况。
• 研究了链路性能，并利用M‐QAM调制技术提供了精确的闭式误码率表达式。
• 推导了遍历容量的闭式表达式。

本研究中提供的所有闭式表达式均借助米格尔G函数和福克斯H函数等高级数学函数进行构建，从而使得分析更加易于处理。此外，还采用了顺序统计量以提供更具一般性的结果。通过大量的蒙特卡洛仿真结果验证了上述所有性能指标所获得的数学表达式的正确性。

B. 论文结构

本文的其余部分结构如下：第二部分描述了系统模型。第三部分介绍了中断、误码率和容量分析。第四部分讨论了理论分析和仿真结果，最后第五部分对全文进行了总结。

II. 系统模型

考虑一个单小区DL‐NOMA系统，该小区配备了一个基站，基站向 L用户广播一个叠加的单数据流。不失一般性，假设 L用户与基站之间的信道系数按升序排列，即 |h1|2 ≤ |hl| 2 ≤ · · · ≤ |hL|2。根据NOMA原理，基站在为每个用户分配特定功率级别后，将其信息符号进行叠加。因此，发射的NOMA信号表示为

$$
x_{sc}=\sum_{l=1}^{L}\sqrt{\beta_l P_t}s_l, \quad (1)
$$

其中总发射功率 $P_t$被归一化为单位一， $\beta_l$是功率分配系数， $s_l$是第 $l$个用户的发送符号。功率系数通常被分配为满足 $\beta_1> \beta_2> \cdots> \beta_L$。关于功率分配的更多细节可参见[18]。

在平坦衰落信道中，第 $l$个用户经过相位补偿后的接收信号可以表示为[19],

$$
y_l = |h_l|x_{sc} + n_l , \quad l \in{1, 2,\dots, L}, \quad (2)
$$

其中信道包络 |h| 服从 α‐µ分布，且 $n_l \sim \mathcal{CN}(0, \sigma^2)$为加性白高斯噪声（AWGN）。第 $l$个用户的接收信号通过SIC检测器进行检测，其中符号 $s_1, s_2,\dots, s_{l-1}$被检测并从$y_l$中减去，然后检测$s_l$。一般来说，SIC过程可能会失败，因此干扰将无法被消除。然而，在某些场景下可以假设SIC过程是理想的，即每个SIC用户都能成功消除前 $l−1$个用户的干扰信号。这一假设通常被采用以使分析更加可行，同时不会损失太多信息。

尤其是在高信噪比（SNR）下。对于$i> l$的情况，$l$用户将$i$用户的信号视为噪声，因此与SIC过程无关。在理想 SIC情况下，$l$用户可实现数据速率为 $1 \leq l \leq(L−1)$，其数学表达式为[20],

$$
R_l= \log_2\left(1+ \frac{\gamma_l\beta_l}{\gamma_l\sum_{i=l+1}^{L} \beta_i+1}\right) , \quad (3)
$$

其中 $\rho= P_t/\sigma^2$为发射信号功率与噪声比（SNR），$\gamma_l= \eta_l \beta_l =\Delta \rho|h_l|^2$，其中 $\eta_l$为瞬时˜SNR。值得注意的是， $R_l$需满足 $R_{j→l} \geq R_j$，其中˜$R_j$表示第 $j$个用户的目标数据速率，即QoS需求， $R_{j→l}$为第$l$个用户解码第$j$个用户信号的数据速率， $j \leq l$，其表达式为

$$
R_{j→l}= \log_2\left(1+ \frac{\gamma_l\beta_j}{\gamma_l\sum_{i=j+1}^{L} \beta_i+1}\right) . \quad (4)
$$

可以注意到，第$L$个用户的可实现数据速率是

$$
R_L= \log_2(1+ \eta_L) \quad (5)
$$

其中 $\eta_L =\Delta \gamma_L\beta_L$。

III. α‐µ信道下的性能分析

A. γ的概率密度函数和累积分布函数

α‐µ分布是一种小尺度衰落模型，主要用于表征两个关键参数的影响，即非线性参数 α和多径簇数量µ。该模型使用 µ来描述簇的数量，每个簇由在非均匀环境中传播的多个多径信号分量组成。各个簇具有不同的散射波和随机相位，但时间延迟相似。这些簇中的散射波具有相同功率。因此，信道包络由多径分量模值之和的非线性函数生成。一般来说，对于固定的 α，增大 µ的值意味着衰落减弱，信道包络趋向于集中在1附近。相反，减小 µ会导致严重衰落，因为信道包络将集中在0附近。固定 µ并改变 α通常会产生相同的行为[21]。

通过改变 µ和 α，可以获得广泛的衰落特性。例如，通过设置 µ= 1可得到韦伯分布，且 α/2成为衰落参数。通过设置{α= 2, µ= 1}可获得瑞利衰落。使用 {α= 1, µ= 1}可获得负指数分布。通过设置 α= 2可得到中村‐m，且 µ成为衰落参数。通过设置 {α= 2, µ= 1/2}、[21]可获得单边高斯分布。

此外，瞬时SNR γ 的概率密度函数为[22],

$$
f_\gamma(\gamma)= \frac{\alpha\mu^\mu \gamma^{\alpha\mu/2 - 1}}{2\Gamma(\mu)\tilde{\gamma}^{\alpha\mu/2}} \exp\left(-\mu\left(\frac{\gamma}{\tilde{\gamma}}\right)^{\alpha/2} \right) \quad (6)
$$

其中 $\tilde{\gamma}$是平均功率，如表I中给出的[22]。然而，瞬时 SNR的累积分布函数可通过积分(6)中的概率密度函数，并利用[23,3.381.8]中的性质求解该积分得到。因此，累积分布函数可表示为

$$
F_\gamma(\gamma)= \int_0^\gamma f_\gamma(g)dg= \frac{G(\gamma)}{\Gamma(\mu)} \quad (7)
$$

其中 $G(\gamma), \gamma_{inc}(\mu, \mu(\gamma/\tilde{\gamma})^{\alpha/2}), \Gamma(.)$分别表示伽马函数和不完全伽马函数，其定义见[23]。相比之下，本文采用顺序统计方法对用户到基站的距离差异进行建模。因此，第$l$个有序用户的随机变量的 $\gamma_l$的概率密度函数和累积分布函数可分别表示为[24],

$$
f_{\gamma_l}(\gamma)=\Xi f_\gamma(\gamma)\times[F_\gamma(\gamma)]^{l-1}[1 - F_\gamma(\gamma)]^{L-l}, \quad (8)
$$

$$
F_{\gamma_l}(\gamma)=\Xi \sum_{n=0}^{L-l} \binom{L-l}{n} \frac{(-1)^n}{l+ n}[F_\gamma(\gamma)]^{l+n}, \quad (9)
$$

其中 Ξ在表I中给出。

B. 中断分析

本节研究了一个三用户、 $L= 3$、NOMA系统的中断概率。针对以下各小节中讨论的两种不同场景，对中断概率进行了评估。

1) 具有预定义目标速率的中断概率：

命题1 。在 α-µ衰落信道下，具有固定数据速率的第$l$个用户的中断概率由以下公式给出，

$$
P^{\text{out}} l=\Xi \sum {n=0}^{L-l} \binom{L-l}{n} \frac{(-1)^n}{l+ n} \left[\frac{\gamma_{\text{inc}}\left(\mu, \mu(\tau^*_l)^{\alpha/2}/\tilde{\gamma}^{\alpha/2}\right)}{\Gamma(\mu)} \right]^{l+n} , \quad (10)
$$

其中 $\tau^*_l =\max{\tau_1, \cdots, \tau_l}$，且 $\tau_l$在 (12) 中定义。

证明 。根据[20], ，每个用户应具有一个预定义的数据速率，称为 $R_l$，因此需要考虑两个主要概率。第一，当某个用户能够消除其他用户的信号时，即$E_{l, j} =（R_{j→ l} \geq R_j ）$，其中 $1 \leq j \leq l$；第二，当非正交多址满足该用户的QoS˜要求时，即（$R_l \geq \tilde{R}_l$）。因此，第 $l$个用户的中断概率可表示如下：

$$
P^{\text{out}} l = 1 - P(E^c {l,1} \bigcap \cdots \bigcap E^c_{l,l}) , \quad (11)
$$

$E^c_{l, j}$是 $E_{l, j}$的补集，其定义如下

$$
E^c_{l, j}=(\text{SINR} {j →l} > \varepsilon_j) = \left( \frac{\gamma_l \beta_j}{\gamma_l\sum {i= j +1}^{L} \beta_i +1} > \varepsilon_j \right) =\left(\gamma_l > \frac{\varepsilon_j}{\beta_j - \varepsilon_j\sum_{i= j +1}^{L} \beta_i} \Delta = \tau_j\right) , \quad (12)
$$

其中 $\varepsilon_j= 2^{\tilde{R} j} - 1$对于 $1\leq j \leq l$。公式(12)中的概率事件受$(\beta_j> \varepsilon_j\sum {i=j+1}^{L} \beta_i)$约束。因此，(11)可重写为

$$
P^{\text{out}} l= 1 - P(\gamma_l> \tau^ _l)= \int_0^{\tau^ _l} f {\gamma_l}(\gamma)d\gamma \quad (13)
$$

其中 $\tau^*_l= \max{\tau_1, \cdots, \tau_l}$。因此，将(8)代入(13)，并利用[23]中定义的二项式展开进行推导，从而将(13)重写为

$$
P^{\text{out}} l=\Xi \sum {n=0}^{L-l} \binom{L-l}{n} (-1)^n \int_0^{\tau^* l} [F \gamma(\gamma)]^{l+n-1} f_\gamma(\gamma)d\gamma \quad (14)
$$

经过进一步的推导后变为

$$
P^{\text{out}} l=\Xi \sum {n=0}^{L-l} \binom{L-l}{n} \frac{(-1)^n}{l+ n}\left[\int_0^{\tau^* l} f \gamma(\gamma)d\gamma\right]^{l+n} . \quad (15)
$$

最终，通过将(6)代入(15)，可得到第$l$个用户在给定目标数据速率下的中断概率的最终公式，如(10)所示。

然而，用户 $L$的互补中断事件为 ˜，表示为 $E^c_L= 1 - P(\gamma_l\beta_L> \varepsilon_L)$，其中 $\varepsilon_L= 2^{R_L} - 1$、˜ 和 $R_L$表示用户 $L$的目标数据速率。因此，用户 $L$的中断概率可以按如下方式计算

$$
P^{\text{out}} L= 1 - P\left(\gamma_l> \frac{\varepsilon_L}{\beta_L} \Delta = \tau_L\right)= \int_0^{\tau_L} f {\gamma_L}(\gamma)d\gamma. \quad (16)
$$

类似地，我们遵循从(13)到(15)的前述步骤，以求得用户 $L$的最终中断概率。因此，证明完成。

2) 非正交多址用户速率低于正交多址用户速率的中断概率：

在第三节‐B1中，前述中断概率是基于给定固定速率进行考虑的。然而，为了获得更深入的洞察，本文还考虑了另一种场景，即非正交多址中用户的速率低于正交多址中的用户速率。因此，利用(3)‐(5)可对第$l$个用户在 $l< L$条件下的上述概率事件进行评估

$$
P(R^N_l < R^O_l)= P \left[\left(1+ \frac{\gamma_l\beta_l}{\gamma_l\sum_{i=l+1}^{L} \beta_i+1}\right)^L <\Theta \right] = P \left[\left(1+ \gamma_l\left( \sum_{i=l}^{L} \beta_i\right)\right)^L -\left(1+ \gamma_l\right)\left( 1+ \gamma_l \sum_{i=l+1}^{L} \beta_i\right)^L < 0 \right] = \int_{\Omega_l} f_{\gamma_l} (\gamma)d\gamma_l \quad (17)
$$

其中$\Omega_l$ 是不等式左侧函数为负的区间集合， $R^N_l$ 表示在(3)中定义的非正交多址数据速率， $R^O_l$ 是正交多址数据速率同样定义为$R^O_l= \frac{1}{L}\log_2(1+ \rho |h_l|^2)$，以及$\Theta, 2^{LR^O_l}= 1+ \rho |h_l|^2$。为了找到确定前述方程中断的信噪比阈值，应通过求解所得多项式的根，并找出多项式为负的区间来解该不等式。

然而，对于第 $L$个用户，其非正交多址传输的可达速率小于正交多址传输的情况，即$P(R^N_L< R^O_L)$，可以通过类似的方法推导得出，但需借助式(5)和二项式展开定理。因此，经过一些推导后，用户 $L$的中断概率可表示为

$$
P^{\text{out}} L= P(R^N_L< R^O_L) = P\left(-\gamma_L+ \sum {k=1}^{L} \binom{L}{k}(\gamma_L\beta_L)^k< 0\right) = \int_{\Omega_L} f_{\gamma_l}(\gamma)d\gamma_l. \quad (18)
$$

与之前的情况类似， $l< L$，首先计算多项式的根，然后考虑函数为负的区间。

对于双用户NOMA系统中的第一个用户，得到一个具有单个实正根的二次方程不等式，因此可以求得中断概率为

$$
P(R^N_1| {L=2}< R^O_1| {L=2})= P\left(\gamma_1| {L=2}< \frac{1 - 2\beta_2}{\beta_2^2}\right) = F {\gamma_1| {L=2}}(\varphi_1| {L=2}) \quad (19)
$$

其中 $\varphi_1|_{L=2}= \frac{1-2\beta_2}{\beta_2^2}$。因此，$l$用户的中断概率可表示为

$$
P^{\text{out}} {1| {L=2}}= \Xi \sum_{n=0}^{1} \binom{1}{n} \frac{(-1)^n}{l+ n}[F_{\gamma_l}( \varphi_1|_{L=2})]^{l+n} . \quad (20)
$$

其中$F_{\gamma_l}( \gamma)$由(7)给出。

对于第二个用户， $P^{\text{out}}_L$可以表示为

$$
P^{\text{out}} {L| {L=2}} = P\left(\gamma_L< \frac{1 - 2\beta_L}{\beta_L^2}\right) = F_{\gamma_l}( \varphi_L|_{L=2}) \quad (21)
$$

其中 $\varphi_L|_{L=2}= \frac{1-2\beta_L}{\beta_L^2}$。

通过采用与 $L= 3$场景类似的步骤，可以得到第一个用户的中断概率

$$
P(R^N_1 <R^O_1)=1 - F_{\gamma_1| {L=3}}(\varphi_1| {L=3}) \quad (22)
$$

其中 $\varphi_1|_{L=3}$满足 $a= -(1 - \beta_1)^3$， $b= 1-3(1 - \beta_1)^2$和$c= 2 - 3(1 - \beta_1)$。

对于第二位用户，得到一个三次多项式，因此根据 $\beta_1$、$\beta_2$和 $\beta_3$的取值，该多项式最多可能有3个实正根。因此，每组 $\beta$的中断概率应分别计算。例如，当${\beta_1 , \beta_2 , \beta_3} ={0.75, 0.2, 0.05}$时，得到两个实正根$\Phi_{2|_{L=3}} ={5.628, 66.873}$，此时中断概率可表示为

$$
P^{\text{out}} {2| {L=3}} = F_{\gamma_2}(\gamma_2 = 5.628)+1 - F_{\gamma_2}(\gamma_2 = 66.873),\quad(23)
$$
而当${\beta_1, \beta_2, \beta_3}={0.8, 0.15, 0.05}$时，该多项式没有实正根，且在 $\gamma_2$的整个范围内为正值。因此，此情况下的中断概率为$P^{\text{out}} {2| {L=3}}= 1$。

对于第三用户，所得到的多项式具有单个根，且 $P^{\text{out}}_L$可以表示为

$$
P^{\text{out}} {L| {L=3}}= F_{\gamma_l}(\varphi_L|_{L=3}) \quad (24)
$$

并且其中 $\varphi_L|_{L=3}= \frac{-3+\sqrt{4\beta_L}}{-3}$，该条件在 $\beta_1> \beta_2> \beta_3$和$\beta_1+ \beta_2+ \beta_3= 1$时必然满足。

可以采用相同的步骤来获取 $P^{\text{out}}_L$ ，以应对 $L \geq 4$的情况，然而高次多项式的求解通常难以追踪，因此此类情况可应用数值或图形方法。

C. 平均误码率分析

平均误码率可以通过首先确定每个用户的条件误码率，然后应用在[25],中定义的平均过程来获得

$$
\bar{P} {e_l}= \int_0^\infty P {e_l} f_{\gamma_l}( \gamma)d\gamma, \quad (25)
$$

其中 $l \in{1, 2, 3}$。在本小节中，我们考虑使用正交幅度调制的NOMA用户系统的两种不同场景，第一种场景包含两个具有不同调制阶数的非正交多址用户，第二种场景包含三个具有相同调制阶数的不同用户。在这两种情况下，均研究了其在 α‐µ衰落模型下的平均误码率性能。

1) 情况($L= 2$)：

两个非正交多址用户信号采用方形正交幅度调制星座 $M_l$进行调制，其中所有用户的 $M_1= M_2= 4$。因此，根据[26],，两个用户的条件误码率 $P_{e_i}$可分别表示如下，

$$
P_{e_1} (I)= \frac{1}{4} \sum_{i=1}^{2} \text{erfc}\left(\sqrt{\frac{\lambda_{1,i}\gamma_1}{2}}\right) \quad (26)
$$

$$
P_{e_2} (I)= \frac{1}{4} \sum_{i=1}^{5} g_i \text{erfc}\left(\sqrt{\frac{\lambda_{2,i}\gamma_2}{2}}\right) \quad (27)
$$

其中$\lambda_{1,i}$、 $g_i=[2,-1, 1, 1,-1]$以及$\lambda_{2,i}$也在表I中给出。

命题2 。小区边缘用户的平均误码率 $U_1$可定义为

$$
\bar{P} {e_1}^{(I)} = \frac{1}{4} \sum {i=1}^{2}\left[\Psi_1 H^{2,2} {1,2}\left[\frac{\mu D^{-1} {1,i}}{(\tilde{\gamma} 1)^{\alpha/2}} \left| \begin{array}{c} (1 - \frac{\alpha\mu}{2}, \frac{\alpha}{2}),(\frac{1}{2}-\frac{\alpha\mu}{2}, \frac{\alpha}{2}) \ (0, 1),(-\frac{\alpha\mu}{2}, \frac{\alpha}{2}) \end{array} \right. \right] - \Psi_2 H^{1,1} {1,2}\left[\begin{array}{c} (0,2) \ (1,0) \ (0,1) \ (1,1) \ (1,2) \end{array} \left| \begin{array}{c} (1 - \frac{\alpha\mu}{2}; \frac{\alpha}{2}, \frac{\alpha}{2}),( \frac{1}{2}-\frac{\alpha\mu}{2}; \frac{\alpha}{2}, \frac{\alpha}{2}) \ (-\frac{\alpha\mu}{2}; \frac{\alpha}{2}, \frac{\alpha}{2}) \ - \ (0, 1) \ (1, 1) \ (\mu, 1),(0, 1) \end{array} \right| \xi_1, \xi_2 \right]\right] \quad (28)
$$

其中 $\Psi_1$ 、 $\Psi_2$ 、 $\xi_1$ 、 $\xi_2$ 和$D_{1,i}$在表I中定义。

证明 . 将(8)代入(25)得，

$$
\bar{P} {e_l}^{(I)}=\Xi \int_0^\infty P {e_l}.f_\gamma(\gamma)\times[F_\gamma(\gamma)]^{l-1} \times[1 - F_\gamma(\gamma)]^{L-l} d\gamma. \quad (29)
$$

将(6)和(7)代入(29)，并应用二项式定理进行一些代数运算后， (29)变为

$$
\bar{P} {e_l}^{(I)}= \sum {n=0}^{L-l} \binom{L-l}{n} \frac{(-1)^n}{(\Gamma(\mu))^{l-1+n}}\Xi \times B_l \int_0^\infty P_{e_l} \gamma_l^{\alpha\mu/2 -1}e^{-\mu(\gamma_l/\tilde{\gamma}_l)^{\alpha/2}} [G(\gamma_l)]^{l-1+n} d\gamma_l, \quad (30)
$$

其中Ξ和 $B_l$如表I所示。现在，如果考虑 $L=2$，则 $U_1$和 $U_2$的平均误码率可分别表示为

$$
\bar{P} {e_1}^{(I)}= \sum {n=0}^{1} \binom{1}{n} \frac{(-1)^n \alpha\mu^\mu}{(\Gamma(\mu))^{n+1} \tilde{\gamma} 1^{\alpha\mu/2}} \int_0^\infty P {e_1} \times \gamma_1^{\alpha\mu/2-1} e^{-\mu(\gamma_1/\tilde{\gamma}_1)^{\alpha/2}} [G(\gamma_1)]^n d\gamma_1. \quad (31)
$$

$$
\bar{P} {e_2}^{(I)}= \frac{\alpha\mu^\mu}{\Gamma^2(\mu)\tilde{\gamma}_2^{\alpha\mu/2}} \int_0^\infty P {e_2} \gamma_2^{\alpha\mu-2/2} e^{-\mu(\gamma_2/\tilde{\gamma}_2)^{\alpha/2}} G(\gamma_2)d\gamma_2.\quad(32)
$$

通过对(31)进行进一步简化，可将其写为，

$$
\bar{P} {e_1}^{(I)}= \omega_1 \int_0^\infty \left[1 - \frac{G(\gamma_1)}{\Gamma(\mu)}\right] \gamma_1^{\alpha\mu - 2/2} e^{-(\gamma_1/\tilde{\gamma}_1)^{\alpha/2}} Q\left(\sqrt{\lambda {1,i}\gamma_1}\right) d\gamma_1, \quad (33)
$$

其中 $\omega_1$和 $\omega_2$在表I中定义。将(26)代入(33)，可得

$$
\bar{P} {e_1}^{(I)}= \frac{\omega_1}{2} \sum {i=1}^{2} \int_0^\infty\left[1 - \frac{G(\gamma_1)}{\Gamma(\mu)}\right] \gamma_1^{\alpha\mu/2 - 1} e^{-(\gamma_1/\tilde{\gamma} 1)^{\alpha/2}} Q\left(\sqrt{\lambda {1,i}\gamma_1}\right) d\gamma_1. \quad (34)
$$

(34)中的积分由两个积分组成，可通过对方括号内的变量应用乘法分配律得到。这些积分可利用恒等式[27, 8.4.3.1、8.4.14.2、8.4.16.1],求解，并通过恒等式[28, 6.2.8]将米格尔G函数的形式转换为H函数的形式。因此， (34)的第一个积分变为

$$
I_1 = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \int_0^\infty \gamma_1^{\alpha\mu/2 - 1} H^{1,0} {0,1}\left[\mu(\gamma_1/\tilde{\gamma}_1)^{\alpha/2} \left| \begin{array}{c} - \ (0, 1) \end{array} \right. \right] \times H^{2,0} {1,2}\left[\lambda_{1,i} \gamma_1 \left| \begin{array}{c} (1, 1) \ (0, 1),( \frac{1}{2} , 1) \end{array} \right. \right] d\gamma_1 . \quad (35)
$$

表达式(35)可以利用[29],中给出的两个H‐Fox函数的 Mellin变换进行求值

$$
I_1= H^{2,2} {1,2}\left[\frac{\mu(\tilde{\gamma}_1)^{\alpha/2}}{D {1,i}} \left| \begin{array}{c} (1 - \frac{\alpha\mu}{2}, \frac{\alpha}{2}) ( \frac{1}{2} - \frac{\alpha\mu}{2}, \frac{\alpha}{2}) \ (0, 1) (-\frac{\alpha\mu}{2}, \frac{\alpha}{2}) \end{array} \right. \right] \times\frac{(D_{1,i})^{-\mu}}{\sqrt{\pi}} . \quad (36)
$$

然而，为了求解(34)中的第二个积分，重新使用了适用于(34)的恒等式以及恒等式[27,8.4.14.2]。因此，得到以下表达式，

$$
I_2= \frac{1}{\sqrt{\pi}} \int_0^\infty \gamma_1^{\alpha\mu/2-1} H^{2,0} {1,2}\left[\lambda {1,i}\gamma_1 \left| \begin{array}{c} (1, 1) \ (0, 1),( \frac{1}{2}, 1) \end{array} \right. \right] \times H^{1,0} {0,1}\left[\mu(\gamma_1/\tilde{\gamma}_1)^{\alpha/2} \left| \begin{array}{c} - \ (0, 1) \end{array} \right. \right] \times H^{1,1} {1,2}\left[\mu(\gamma_1/\tilde{\gamma}_1)^{\alpha/2} \left| \begin{array}{c} (1, 1) \ (\mu, 1),(0, 1) \end{array} \right. \right] d\gamma_1. \quad (37)
$$

上述方程可使用[30,式(2)3]进行计算。因此，(37)可进一步简化为

$$
I_2= H \left[\begin{array}{c} (0,2) \ (1,0) \ (0,1) \ (1,1) \ (1,2) \end{array} \left| \begin{array}{c} (1 - \frac{\alpha\mu}{2}; \frac{\alpha}{2}, \frac{\alpha}{2}),( \frac{1}{2} - \frac{\alpha\mu}{2}; \frac{\alpha}{2}, \frac{\alpha}{2}) \ (-\frac{\alpha\mu}{2}; \frac{\alpha}{2}, \frac{\alpha}{2}) \ - \ (0, 1) \ (1, 1) \ (\mu, 1),(0, 1) \end{array} \right| \xi_1, \xi_2 \right] \times\frac{(D_{1,i})^{-\mu}}{\sqrt{\pi}} \quad (38)
$$

其中 $\xi_1$、 $\xi_2$在表I中定义。将(36)和(38)代入(34)，可得 (28)中的命题。因此，证明完成。

命题3 . 小区中心用户的平均误码率（$U_2$）可表示如下，

$$
\bar{P} {e_2}^{(I)}= \frac{1}{4} \sum {i=1}^{5} g_i \frac{\omega_3(D_{1,i})^{-\mu}}{\sqrt{\pi}} \times H \left[\begin{array}{c} (0,2) \ (1,0) \ (0,1) \ (1,1) \ (1,2) \end{array} \left| \begin{array}{c} (1 - \frac{\alpha\mu}{2}; \frac{\alpha}{2}, \frac{\alpha}{2}),( \frac{1}{2} - \frac{\alpha\mu}{2}; \frac{\alpha}{2}, \frac{\alpha}{2}) \ (-\frac{\alpha\mu}{2}; \frac{\alpha}{2}, \frac{\alpha}{2}) \ - \ (0, 1) \ (1, 1) \ (\mu, 1),(0, 1) \end{array} \right| \varsigma_1, \varsigma_2 \right], \quad (39)
$$

其中 $\omega_3$、 $\varsigma_1$和 $\varsigma_2$在表I中给出。

证明 。 为了获得小区中心用户的平均误码率，即$U_2$，我们使用(32)，并采用与推导(33)‐(38)相同的方法，但使用不同的条件误码率，即在(33)中用(27)代替(26)。此外，为了避免重复，省略了重复的步骤，因此证明完成。

2) 情况 ($L= 3$)：

三用户NOMA的发射信号使用相同阶数的正交幅度调制，即 $M_l=4 \forall l, l \in{1,2,3}$。因此，根据[15],，三个用户的条件误码率 $P_{e_i}$可分别用$Q(.)$表示如下

$$
P_{e_1}(II)= \frac{1}{4} \sum_{i=1}^{4} Q\left(\sqrt{\lambda_{3,i}\gamma_1}\right) \quad (40)
$$

$$
P_{e_2} (II)= \frac{1}{4} \sum_{i=5}^{14} c_i \times Q\left(\sqrt{\lambda_{3,i}\gamma_1}\right) \quad (41)
$$

$$
P_{e_3} (II)= \frac{1}{4} \sum_{i=15}^{33} d_i \times Q\left(\sqrt{\lambda_{3,i}\gamma_1}\right) \quad (42)
$$

其中 $d_i=[4,-2, 2, 1,-1, 1,-2, 2,-2, 1, 1,-1, 1,-1, 2,-1,-1，1， -1]$、 $c_i=[1,-1, 2, 1,-1, 2, 1,-1, 1,-1]$以及$\gamma_{3,i}$可从表I中获得。

通过考虑 $L= 3$并遵循(29)‐(30)的前述步骤，以及使用 (40)‐(42)，可分别计算出所有三个用户的平均误码率如下，

$$
\bar{P} {e_1}^{(II)}= \frac{1}{4} \sum {i=1}^{4} \int_0^\infty \gamma_1^{\alpha\mu-2/2} e^{-\mu(\gamma_1/\tilde{\gamma} 1)^{\alpha/2}} Q\left(\sqrt{\lambda {3,i}\gamma_1}\right) \times[\omega_4 - G(\gamma_1)(\omega_5+ \omega_6G(\gamma_1))] d\gamma_1 \quad (43)
$$

$$
\bar{P} {e_2}^{(II)}= \frac{1}{8} \sum {i=1}^{10} c_i\left[\int_0^\infty \gamma_2^{\alpha\mu/2-1} e^{-\mu(\gamma_2/\tilde{\gamma} 2)^{\alpha/2}} Q\left(\sqrt{\lambda {3,i}\gamma_2}\right) \times(\omega_7 - \omega_8[G(\gamma_2)]^2)\right] d\gamma_2 \quad (44)
$$

其中 $\omega_4,\dots \omega_8$在表I中给出，且

$$
\bar{P} {e_3}^{(II)}= \frac{1}{4} \sum {i=15}^{33} d_i \left[\omega_9 \int_0^\infty \gamma_3^{\alpha\mu/2-1} e^{-\mu(\gamma_3/\tilde{\gamma} 3)^{\alpha/2}} Q\left(\sqrt{\lambda {3,i}\gamma_3}\right) \times[G(\gamma_3)]^2 d\gamma_3\right]. \quad (45)
$$

其中 $\omega_9$在表I中给出， $d_i$如(42)所示。值得注意的是， (43)‐(45)中的某些积分在解析上是难以处理的。因此，据作者的知识，上述方程没有闭式表达式，因此这些积分将通过数值方法进行计算。

D. 遍历容量分析

假设信道状态信息(CSI)已知，且平均发射功率受限，因此香农信道衰落容量（也称为遍历容量，单位为比特/秒/赫兹）在[25]中定义为

$$
\bar{C} l = B \int_0^\infty \log_2(1+ \gamma_l \beta_l)f {\gamma_l} (\gamma_l) d\gamma_l . \quad (46)
$$

1) 情况 ($L=2$)：

命题4 。 $U_1$的平均信道容量表示为(47)，其中 $\varsigma_3$、 $\varsigma_4$、 $\varsigma_5$和 $\varsigma_6$在表I中定义。

$$
\bar{C} 1= \frac{\omega_1}{\ln2}\left(H^{2,2} {3,1} \left[ \frac{\mu}{(\tilde{\gamma} 1)^{\alpha/2}} \left| \begin{array}{c} (-\frac{\alpha\mu}{2}, \frac{\alpha}{2})(1 - \frac{\alpha\mu}{2}, \frac{\alpha}{2}) \ (0, 1)(-\frac{\alpha\mu}{2}, \frac{\alpha}{2})(-\frac{\alpha\mu}{2}, \frac{\alpha}{2}) \end{array} \right. \right] - \beta_2(-2\alpha\mu)H^{2,2} {3,1} \left[\frac{\mu\beta_2^{-\alpha/2}}{(\tilde{\gamma}_1)} \left| \begin{array}{c} (-\frac{\alpha\mu}{2}, \frac{\alpha}{2})(1 - \frac{\alpha\mu}{2}, \frac{\alpha}{2}) \ (0, 1)(-\frac{\alpha\mu}{2}, \frac{\alpha}{2})(-\frac{\alpha\mu}{2}, \frac{\alpha}{2}) \end{array} \right. \right]\right) - \frac{\omega_2}{\ln2} \left( \frac{\mu}{(\tilde{\gamma}_1)^{\alpha/2}} \right)^{-\mu} \left(H \left[\begin{array}{c} (0,1) \ (1,0) \ (1,2) \ (1,2) \ (1,2) \end{array} \left| \begin{array}{c} (1 - \mu; \frac{2}{\alpha}, 1) \ - \ (1, 1),(1, 1) \ (1, 1),(0, 1) \ (1, 1) \ (\mu, 1),(0, 1) \end{array} \right| \varsigma_3, \varsigma_4 \right] - H \left[\begin{array}{c} (0,1) \ (1,0) \ (1,2) \ (1,2) \ (1,2) \end{array} \left| \begin{array}{c} (1 - \mu; \frac{2}{\alpha}, 1) \ - \ (1, 1),(1, 1) \ (1, 1),(0, 1) \ (1, 1) \ (\mu, 1),(0, 1) \end{array} \right| \varsigma_5, \varsigma_6 \right] \right) \quad (47)
$$

证明 。 通过注意到(29)与(46)相似，只需将 $P_{e_i}$替换为$\log_2 = \frac{\ln(x)}{2x}$ $(1+ G_l)$， 并利用恒等式$\log() \ln(2)$，可得到以下表达式，

$$
\bar{C}_l=\Upsilon \int_0^\infty \ln(1+ G_l)f(\gamma_l)[F(\gamma_l)]^{l-1}[1 - F(\gamma_l)]^{L-l} d\gamma_l, \quad (48)
$$

其中 $\Upsilon$ 和 $G$ 在表I中定义。现在，通过采用与(29)中相同的推导方法，但将对数函数替代互补误差函数，并考虑 $L= 2$，两个用户的平均信道容量分别如下所示，

$$
\bar{C}_1= \frac{1}{\ln2} \int_0^\infty \ln(1+ G_1)\gamma_1^{(\alpha\mu/2 -1)} e^{-\mu(\gamma_1/\tilde{\gamma}_1)^{\alpha/2}} \times(\omega_1\gamma_1 - \omega_2G(\gamma_1)) d\gamma_1 \quad (49)
$$

$$
\bar{C}_2= \frac{\omega_2}{\ln2} \int_0^\infty \ln(1+ G_2) \frac{\gamma_1^{\alpha\mu/2}}{\gamma_1} e^{-\mu(\gamma_1/\tilde{\gamma}_1)^{\alpha/2}} G(\gamma_1)d\gamma_1. \quad (50)
$$

通过注意到积分(49)可以拆分为两个积分，且这两个积分可进一步扩展为以下形式，

$$
I_1 = \int_0^\infty \ln\left( \frac{1+ \gamma_1}{1+ \beta_2 \gamma_1}\right) \gamma_1^{\alpha\mu - 2/2} e^{-\mu(\gamma_1/\tilde{\gamma}_1)^{\alpha/2}} d\gamma_1 \quad (51)
$$

$$
I_2 = \int_0^\infty \ln\left( \frac{1+ \gamma_1}{1+ \beta_2 \gamma_1}\right) \gamma_1^{\alpha\mu - 2/2} e^{-\mu(\gamma_1/\tilde{\gamma}_1)^{\alpha/2}} G(\gamma_1) d\gamma_1 .\quad(52)
$$

(34)‐(38) 的步骤在对数方面被重复使用，可通过 [27, 8.4.16.1] 以及之前在 (34) 中提到的其他恒等式求解。此外，经过进一步的代数运算后，命题5 在 (47) 中得以充分实现。

命题5 。 $U_2$的平均信道容量表示如下，

$$
\bar{C}_2= \frac{\omega_2\mu^{-\alpha\mu/2}}{\ln2(\tilde{\gamma}_1)^{\alpha2\mu/4}} H \left[\begin{array}{c} (0,1) \ (1,0) \ (1,2) \ (1,2) \ (1,2) \end{array} \left| \begin{array}{c} (1 - \mu; \frac{2}{\alpha}, 1) \ - \ (1, 1),(1, 1) \ (1, 1),(0, 1) \ (1, 1) \ (\mu, 1),(0, 1) \end{array} \right| \varsigma_5, \varsigma_6 \right] \quad (53)
$$

其中 $\varsigma_3$、 $\varsigma_4$、 $\varsigma_5$和 $\varsigma_6$在表I中定义。

$U_2$的有效容量可以通过计算(50)来获得，类似于(32)。

2) 情况 ($L= 3$) ：

将 $L= 3$代入(48)，并参照对 (43)‐(45)中对数函数所采用的相同步骤，最终可得到三用户NOMA的有效容量。因此，为了避免重复，我们省略了其表达式的书写，因为只需将 $Q(·)$函数替换为$\ln(1+ G_l)$即可获得相同的表达式。需要注意的是，针对此特定 $L= 3$情况，获得有效容量的最终闭式表达式更具挑战性且难以处理，因此采用了数值解。

IV. 结果与讨论

在本节中，考虑了不同用户数量的DL‐NOMA，其中总发射功率归一化为单位一，并采用固定功率分配技术。此外，功率系数根据用户的信道条件进行分配，对于双用户情况基本为($\beta_1= 0.8, \beta_2= 0.2$)，对于三用户情况为($\beta_1= 0.8, \beta_2=0.15, \beta_3= 0.05$)，除非另有说明。值得注意的是，本节中的大多数结果主要依赖于Fox‐H函数，该函数可在Matlab中按照[31]. α‐µ衰落分布提出的方法进行应用。由于 α‐µ衰落分布能够包含瑞利、韦伯和中村等其他重要衰落模型，因此被视为一种广义模型。因此，本节采用了不同的 α和 µ参数取值来研究其影响。此外，当将顺序统计理论应用于 α‐µ衰落时，多用户NOMA的误码率和有效容量分析变得难以处理。例如，文献[19],展示了在莱斯衰落信道下基于顺序统计量的三用户 NOMA误码率分析，显然具有很高的复杂性。因此，利用 α‐µ模型结合顺序统计量推导出两个以上用户的精确闭式误码率和有效容量表达式是极其困难的。

通常难以处理。为了解决这一问题，我们旨在应用一种数值工具来计算三个非正交多址用户情况下的结果。

图1显示了当所有用户的数据速率低于特定目标数据速率时的中断概率。该图是在 α= 2取固定值且 µ=[1, 3]的情况下生成的。从图中可以看出，衰落参数 µ对用户的中断性能有直接影响，但影响程度不同。例如，当 µ从1增加到3时，所有用户的中断概率显著改善，尤其是最远的用户 $U_1$ ，在 OP= 10^{-3}处实现了20分贝的改善。 $U_2$ 和 $U_3$ 也表现出类似的趋势，但相较于 $U_1$ ，其获得的改善较小。这种性能的提升是因为µ= 3的衰落在1附近较为集中，意味着较轻微的衰落。相反，当 µ= 1时，衰落包络主要集中于1以下，导致严重衰落和性能下降。因此，应合理选择功率分配和目标数据速率，以有效促进实现具有较低中断概率的可靠连接。

图2表示所有用户均表现出相同的QoS需求的情况，这些需求由相似的预设数据速率、预定义信噪比、固定分配功率（即$\beta_1 = 0.8, \beta_2 =0.15, \beta_3 = 0.05$）以及变化的衰落参数（即α=2, µ=[1, 3]）定义。从该图可以看出，为具有不同衰落参数的用户分配相似的预定义目标数据速率，对系统行为有显著影响。举例来说，在强信道条件下， $U_3$ 在所有目标数据速率值上均实现了最佳的中断概率性能数据速率。然而，在高目标数据速率下，当 µ= 3时， $U_2$相比 $U_1$会遭受更高的中断。这一现象的解释可归因于 $U_2$所携带的干扰量。总体而言，衰落参数的潜在影响在其增大时能明显产生积极贡献。此外，所有非正交多址用户采用相同的QoS需求可能导致不公平的中断性能，因此，如接下来两幅图所说明的，为所有用户谨慎选择目标数据速率对整体系统性能具有重大影响。

与之前的结果不同，图3展示了在与图2相同的功率分配和衰落参数假设下，中断概率（OP）随目标数据速率和信噪比（SNR）不同组合的变化情况。在该图中，每个用户相对于其他用户在其特定的目标数据速率范围内进行考察。举例来说，我们假设 $U_1$的目标数据速率可位于(0.1−0.5)中的任意值；类似地， $U_2$和 $U_3$的指定目标数据速率可分别在(0.5 − 1)和(1 − 1.5)范围内选择。因此，在高信噪比条件下，尽管 $U_3$被分配了较低的功率，但由于其具有更优的信道条件和更高的QoS需求优先级，其实际中断概率低于其他用户。与图2相比，可以看出所有用户预定义数据速率的不同组合有助于在高信噪比值（即SNR= 35 dB）下实现更好的OP性能。总体而言，当考虑所有用户不同的服务质量要求（ QoS requirements）组合时，而非采用相同的要求，OP性能得到改善。因此，表二以相同的衰落参数选择为例，展示了针对两组不同目标数据速率的所有用户对应的多种OP输出结果，这两组分别归类为：第一组（group I）={$U_1 = 1, U_2 = 1, U_3 = 1$}和第二组（group II）={$U_1 = 0.2, U_2 = 0.7, U_3 = 1$}。这些结果综合自图2和图3。

图4展示了两个具有正交多址速率的非正交多址用户的中断概率。结果表明， $U_1$ 与 $U_2$ 表现出相反的行为。具体而言，$U_1$ 在极低信噪比下获得更有效的中断概率

与 $U_2$具有相反关系的情况相比。此外，随着衰落参数 µ的增加，在高信噪比值下对 $U_2$的影响显著，而对 $U_1$的影响则较小。

图5显示了当正交多址系统中用户的数据速率超过非正交多址系统中相似用户的数据速率时，三用户情况下中断概率性能的第二种场景。在高信噪比值下，尤其是对于距离最近的用户 $U_3$ ，由于其较高的信道增益，预期可以获得更低的中断概率。然而， $U_1$ 和 $U_2$ 的中断概率模式与 $U_3$ 不同。它们的中断概率性能主要受分配的功率分配数量的影响，这在同一图中可以观察到。$U_1$ 在双用户情况下的表现方法类似，而$U_2$ 则有不同的输出。在第一种场景中，功率分配按($\beta_1 = 0.75, \beta_2 = 0.15, \beta_3= 0.1$)进行分布。

$U_2$开始表现得更好，直到达到 $10^{-1}$的中断概率，然后其对中断概率的表现转为负面=1。另一方面，应用了将分配的功率分配给所有用户的另一种场景（$\beta_1= 0.75, \beta_2= 0.15, \beta_3= 0.1$），其中 $U_2$在完全中断的情况下呈现出平坦的中断概率。根据前述结果，并与具有服务质量的中断概率前一情况相比，基于正交多址数据速率的中断概率性能被认为比预定义数据速率下的中断概率情况更差。总体而言，分配的功率分配对系统性能具有重大影响。

表二：不同预定义目标速率下的中断概率