45、系统发育学中的代数分析与树的特征化

系统发育学中的代数分析与树的特征化

1. 代数空间中的图像与超曲面

在代数分析里，我们先来看一个关于向量空间的例子。给定方程 $p3 = θ1 + 2θ2$，图像是所有形如
[
\begin{bmatrix}
p1 \
p2 \
p3
\end{bmatrix}
= θ1
\begin{bmatrix}
2 \
-1 \
1
\end{bmatrix}
+ θ2
\begin{bmatrix}
-3 \
1 \
2
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
1 \
5 \
0
\end{bmatrix}
]
的点的集合，其中 $θ1$ 和 $θ2$ 是变量。这其实定义了一个由两条直线确定的平面。第一条直线的方向向量是 $[2 -1 1]^T$，第二条直线的方向向量是 $[-3 1 2]^T$，并且这两条直线都经过点 $(1, 5, 0)$。

为了将这个图像表示为一个簇（variety），我们需要消除参数 $θ1$ 和 $θ2$。具体操作步骤如下：
1. 将第二个和第三个方程相加，得到 $3θ2 = p2 + p3 - 5$。
2. 把这个结果代入前两个方程（为避免分数，将第二个方程乘以 3），得到：
- $p1 = 2θ1 - p2 - p3 + 6$
- $3p2 = -3θ1 + p2 + p3 + 10$
3. 接着消除 $θ1$，最终得到 $3p1 + 7p2 +