13、上下分解函数方法与变分不等式自适应求解策略

上下分解函数方法与变分不等式自适应求解策略

在数学领域，对于微分 - 差分博弈以及变分不等式问题的研究一直是重要的课题。下面将详细介绍上下分解函数方法在微分 - 差分博弈中的应用，以及一种自适应方法在变分不等式问题上的求解策略。

上下分解函数方法

在微分 - 差分博弈中，我们首先引入一些基本概念。设 $\Delta = {(t, s) : 0 \leq s \leq t < +\infty}$ 为平面锥，$\phi(U, v) = {\phi(u, v) = u - v : u \in U}$。考虑集合值映射 $W(t, s, v) = \pi K(t, s)\phi(U, v)$，其中 $K(t, s)$ 是矩阵值函数。为了实际找到微分 - 差分方程组的基本矩阵 $K(t, s)$，将其分解为级数更为方便。

时间延迟指数的定义如下：
对于每个 $s = 1, 2, \cdots$，时间延迟指数 $\exp_{\tau} {B, t}$ 定义为：
[
\exp_{\tau} {B, t} =
\begin{cases}
\Theta, & -\infty < t < -\tau \
I, & -\tau \leq t < 0 \
I + B \frac{t}{1!} + B^2 \frac{(t - \tau)^2}{2!} + \cdots + B^k \frac{(t - (s - 1)\tau)^s}{s!}, & (s - 1) \tau \leq t \leq s\tau
\end{cases}
]

设 $z(T)