14、自适应变分不等式问题求解算法研究

自适应变分不等式问题求解算法研究

1. 问题提出

在实无限维希尔伯特空间 $H$ 中，对于算子 $T: H \to H$，集合 $D \subseteq H$，以及双函数 $G: H \times H \to R$，我们定义 $VI(T, D)$ 和 $EP(G, D)$ 如下：
- $VI(T, D) = { \xi \in D : (T\xi, \eta - \xi) \geq 0 \quad \forall \eta \in D }$
- $EP(G, D) = { \xi \in D : G(\xi, \eta) \geq 0 \quad \forall \eta \in D }$

考虑一个两级问题：找到 $x \in VI(F, EP(G, C))$，其中 $C$ 是 $H$ 中的闭凸集。为了使问题有解且唯一，我们需要满足以下条件：
| 条件编号 | 条件内容 |
| ---- | ---- |
| C1 | $G(x, x) = 0 \quad \forall x \in C$ |
| C2 | $G(x, y) + G(y, x) \leq 0 \quad \forall x, y \in C$（单调性） |
| C3 | $\forall x \in C$，函数 $G(x, \cdot)$ 在 $C$ 上是闭且凸的 |
| C4 | $\forall y \in C$，函数 $-G(\cdot, y)$ 在 $C$ 上是弱闭的 |
| C5 | 对于所有 $x, y, z \in C$，有 $G(x, y) \leq G(x, z) + G(z, y) + a | x - z |^2 + b |