120.三角形最小路径和 python

题目

题目描述

给定一个三角形 triangle ，找出自顶向下的最小路径和。

每一步只能移动到下一行中相邻的结点上。相邻的结点 在这里指的是 下标 与 上一层结点下标 相同或者等于 上一层结点下标 + 1 的两个结点。也就是说，如果正位于当前行的下标 i ，那么下一步可以移动到下一行的下标 i 或 i + 1 。

示例 1：

输入：triangle = [[2],[3,4],[6,5,7],[4,1,8,3]]
输出：11
解释：如下面简图所示：
2
3 4
6 5 7
4 1 8 3
自顶向下的最小路径和为 11（即，2 + 3 + 5 + 1 = 11）。

示例 2：

输入：triangle = [[-10]]
输出：-10

提示：

1 <= triangle.length <= 200
triangle[0].length == 1
triangle[i].length == triangle[i - 1].length + 1
-$10^4$ <= triangle[i][j] <= $10^4$

进阶：

你可以只使用 O(n) 的额外空间（n 为三角形的总行数）来解决这个问题吗？

题解

这个问题可以通过动态规划（Dynamic Programming, DP）来解决。目标是找到从三角形顶部到底部的最小路径和。我们可以从底部向上计算每一层到下一层的最小路径和，这样可以避免重复计算，并且最终在顶点处得到整个三角形的最小路径和。

动态规划解决方案

1. 初始化：我们可以直接使用给定的三角形数组本身作为动态规划的表，或者创建一个新的数组来保存每一步的最小路径和。这里为了节省空间，我们将直接修改输入的三角形数组。
2. 状态转移方程：对于每个元素 triangle[i][j]，其最小路径和等于它自身的值加上它下面一行相邻两个元素中较小的那个的最小路径和。即 triangle[i][j] += min(triangle[i+1][j], triangle[i+1][j+1])。
3. 边界条件：最底层的元素其最小路径和就是它们自身。
4. 结果：经过这样的处理后，三角形顶端的元素 triangle[0][0] 就是从顶部到底部的最小路径和。

Python 实现

下面是具体的实现代码：

def minimumTotal(triangle):
    # 从倒数第二行开始向上遍历
    for row in range(len(triangle) - 2, -1, -1):
        for col in range(len(triangle[row])):
            # 更新当前元素为加上下面一行相邻两元素中的较小者
            triangle[row][col] += min(triangle[row + 1][col], triangle[row + 1][col + 1])
    
    # 返回顶点的值，即为最小路径和
    return triangle[0][0]

解释

• 从底向上处理：这种方法从三角形的底部开始向上处理每一层，更新每个元素为其自身值加上下一层相邻两元素中较小的一个。这样做可以确保当我们到达顶层时，顶层元素已经包含了从该点到底部的最小路径和。
• 空间优化：由于我们直接在原数组上进行修改，因此不需要额外的空间来存储中间结果，这满足了题目要求的 O(n) 额外空间复杂度。
• 时间复杂度：我们需要遍历三角形中的每一个元素一次，所以总的时间复杂度为 O(m)，其中 m 是三角形中的元素总数，即 (n * (n + 1)) / 2，n 是三角形的层数。

这个方法通过巧妙地利用原数组空间，不仅简化了问题的求解过程，还保证了算法的高效性。

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