27、弱最优控制的存在性研究

弱最优控制的存在性研究

在最优控制问题的研究中，弱最优控制的存在性是一个关键问题。本文将围绕弱最优控制的相关内容展开，包括一些关键定理的证明、最优控制问题的设定以及弱最优解的存在性分析。

1. 关键等式的证明

首先要证明 $\gamma = \int_{\Omega}(v, A(x)b) {\mathbb{R}^N} dx$。通过使用不等式 (19.20) 对于对偶指数 $q = p/(p - 1)$ 进行推导。设 $z_k = |A_k^{1/2}v_k|^{p - 2} {\mathbb{R}^N}v_k$，经过一系列的积分运算和极限过程：
- 从 $\int_{\Omega}|A_k^{1/2}(z_k + tb_k)|^q_{\mathbb{R}^N} dx$ 开始，利用已知条件 $|A_k^{1/2}z_k|^q_{\mathbb{R}^N} = |A_k^{1/2}v_k|^p_{\mathbb{R}^N}$ 和 $|A_k^{1/2}z_k|^{q - 2} {\mathbb{R}^N}z_k = v_k$，得到 $\int {\Omega}|A_k^{1/2}(z_k + tb_k)|^q_{\mathbb{R}^N} dx \leq \int_{\Omega}|A_k^{1/2}v_k|^p_{\mathbb{R}^N} dx + q t\int_{\Omega}(v_k, A_kb_k) {\mathbb{R}^N} dx + \tilde{C}_2t^2$。
- 对上述关系取极限，得到 $\int {\Omega}|A^{1/2}(z + tb)|^q_{\mathbb{R}^N} dx \l