16、控制理论中的时间最优问题与最优策略存在性

控制理论中的时间最优问题与最优策略存在性

1. 时间最优问题相关理论

在控制理论里，有一些重要的优化问题无法借助针状变分的思路来解决，因为这些变分并非可允许的控制。此时，把问题重新表述为寻找一个合适定义的凸集的支撑超平面这一几何问题，往往会有所帮助。下面我们将运用这种方法来证明所谓时间最优问题的最大值原理。

考虑线性系统：
(\dot{y} = Ay + Bu)，(y(0) = x) （12.39）
假设集合 (U \subset R^m) 是凸且紧致的。给定一个不同于 (x) 的 (R^n) 中的元素 (\hat{x})。若一个控制 (u(·) : [0, +∞) \to U) 能在时间 (T > 0) 时将 (x) 转移到 (\hat{x})，则意味着对于（12.39）的相应解 (y_{x,u}(·))，有 (y_{x,u}(T) = \hat{x})。

时间最优问题就是要找到一个能在最短时间内将 (x) 转移到 (\hat{x}) 的控制。以下是最大值原理的原始表述：
- 定理 12.6 ：
- （i）若存在能将 (x) 转移到 (\hat{x}) 的控制，则时间最优问题有解。
- （ii）若 (\hat{u}(·)) 是能在最短时间 (\hat{T} > 0) 内将 (x) 转移到 (\hat{x}) 的控制，则存在一个非零向量 (\lambda \in R^n)，使得对于方程 (\dot{p} = -A^ p)，(p(\hat{T}) = \lambda) （12.40）的解 (p(·))，等式 (\langle B^ p(t), \hat{u}(t