#欧拉函数，乘法逆元#洛谷 2155 BZOJ 2186 沙拉公主的困惑

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欧拉函数、欧拉定理

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本文探讨了一个复杂的数论问题，即求解∑i=1n![gcd(i,m!)==1]的值，通过引入欧拉函数φ(m!)和质数分解的方法，提出了一种有效的算法解决方案。代码实现采用C++，利用了筛法求质数和逆元，以及预处理技巧加速计算。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目

求 $∑i=1n![gcd(i,m!)==1]\sum_{i=1}^{n!}[gcd(i,m!)==1]$

分析

显然可知答案求的是 $n!m!φ(m!)=n!∏i=1kpk−1pk\frac{n!}{m!}\varphi(m!)=n!\prod_{i=1}^k\frac{p_k-1}{p_k}$
要注意有一些特殊例子，不要以为只要 $n≥modn\geq mod$ 答案一定是0，可以约分掉，所以要在阶乘和逆元都同时消掉

代码

#include <cstdio>
#include <cctype>
#define rr register
const int N=10000001; bool v[N];
int T,mod,inv[N],pac[N],pnv[N],fac[N],cnt,prime[N],dep[N];
inline signed iut(){
	rr int ans=0; rr char c=getchar();
	while (!isdigit(c)) c=getchar();
	while (isdigit(c)) ans=(ans<<3)+(ans<<1)+(c^48),c=getchar();
	return ans; 
}
inline void print(int ans){
	if (ans>9) print(ans/10);
	putchar(ans%10+48);
}
signed main(){
	T=iut(); mod=iut();
	v[0]=v[1]=inv[0]=inv[1]=pac[0]=pnv[0]=fac[0]=1;
	for (rr int i=2;i<N;++i){
	    if (!v[i]) prime[++cnt]=i;
	    for (rr int j=1;prime[j]*i<N&&j<=cnt;++j){
	    	v[i*prime[j]]=1;
	    	if (i%prime[j]==0) break;
		}
	}
	rr int t=mod<N?mod:N;
	for (rr int i=2;i<t;++i) inv[i]=1ll*(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
	for (rr int i=1;i<=cnt;++i) pac[i]=1ll*pac[i-1]*(prime[i]-1)%mod;
	for (rr int i=1;i<=cnt;++i) pnv[i]=1ll*pnv[i-1]*inv[prime[i]%mod]%mod;
	for (rr int i=1;i<N;++i) if (i!=mod) fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod; else fac[i]=fac[i-1];
	for (rr int i=2;i<N;++i) dep[i]=dep[i-1]+(!v[i]);
	while (T--){
		rr int n=iut(),m=iut();
		if (n>=mod&&m<mod) putchar(48),putchar(10);
		    else print(1ll*fac[n]*pac[dep[m]]%mod*pnv[dep[m]]%mod),putchar(10);
	}
	return 0;
}