#欧拉函数#SPOJ 5971 BZOJ 2226 LCMSUM

最新推荐文章于 2019-08-08 10:16:22 发布

lemondinosaur

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分类专栏：欧拉函数、欧拉定理文章标签： SPOJ 5971 LCMSUM BZOJ 2226 LCMSUM

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本文探讨了求和∑i=1nlcm(n,i)的数学问题，通过转换为求gcd(n,i)的倒数和，进一步简化为求欧拉函数φ(n)的表达式。最终给出了O(nlogn)的时间复杂度算法，并提供了C++实现代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目

求 $∑i=1nlcm(n,i)\sum_{i=1}^nlcm(n,i)$

分析

$=∑i=1nnigcd(n,i)=\sum_{i=1}^n\frac{ni}{gcd(n,i)}$
$=n∑d∣n∑i=1nid[gcd(n,i)==d])=n\sum_{d|n}\sum_{i=1}^n\frac{i}{d}[gcd(n,i)==d])$
$=n∑d∣n∑i=1⌊nd⌋i[gcd(n,id)==d]=n\sum_{d|n}\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}i[gcd(n,id)==d]$
$=n∑d∣n∑i=1⌊nd⌋i[gcd(nd,i)==1]=n\sum_{d|n}\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}i[gcd(\frac{n}{d},i)==1]$
$=n∑d∣n∑i=1⌊nd⌋i[gcd(d,i)==1]=n∑d∣nφ(n)n2=n\sum_{d|n}\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}i[gcd(d,i)==1]=n\sum_{d|n}\frac{\varphi(n)n}{2}$
时间复杂度 $O (n l o g n)$

代码

#include <cstdio>
#include <cctype>
#define rr register
using namespace std;
const int N=1000001;
long long ans[N]; int phi[N];
inline signed iut(){
    rr int ans=0; rr char c=getchar();
    while (!isdigit(c)) c=getchar();
    while (isdigit(c)) ans=(ans<<3)+(ans<<1)+(c^48),c=getchar();
    return ans;
}
inline void print(long long ans){
	if (ans>9) print(ans/10);
	putchar(ans%10+48); 
}
signed main(){
	for (rr int i=1;i<N;++i) phi[i]=i;
	for (rr int i=2;i<N;++i) if (phi[i]==i)
	for (rr int j=i;j<N;j+=i)
	    phi[j]=1ll*phi[j]*(i-1)/i;
	for (rr int i=1;i<N;++i)
	for (rr int j=i;j<N;j+=i)
	    ans[j]+=i==1?1:(1ll*phi[i]*i>>1);
	for (rr int i=1;i<N;++i) ans[i]=ans[i]*i;
	for (rr int t=iut();t;--t)
		print(ans[iut()]),putchar(10);
}