#整除分块#洛谷 2260 模积和 洛谷 2834 能力测验

题目

求${\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^m(n\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}i)\times (m\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}j),i̸=j$

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分析

首先这个东西需要容斥
$$=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m(n\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}i)\times (m\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}j)-\sum _{i=1}^{min(n,m)}(n\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}i)(m\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}i)$$
首先前面这个东西
$$=\sum _{i=1}^n(n\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}i)\sum _{j=1}^m(m\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}j)-\sum _{i=1}^{min(n,m)}(n\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}i)(m\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}i)$$
前面这个东西可以想起余数求和那道题，所以说只剩下后面，后面先把$a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b$改成$a-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor \ast b$
后式=$$\sum _{i=1}^{min(n,m)}(n-\lfloor \frac{n}{i}\rfloor \ast i)(m-\lfloor \frac{m}{i}\rfloor \ast i)$$,也就是
$$=\sum _{i=1}^{min(n,m)}(nm-i(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor m+\lfloor \frac{m}{i}\rfloor n)+i^2\lfloor \frac{n}{i}\rfloor \lfloor \frac{m}{i}\rfloor )$$
然后${\sum }_{i=1}^n{i}^2=n(n+1)(2n+1)/6$,最可怕的是，可能不是质数，所以嗯。

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代码（模积和）

#include <cstdio>
#define rr register
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=19940417;
ll n,m,ans;
inline ll answ1(ll n){
    rr ll ans=n*n%mod;
    for (rr ll l=1,r;l<=n;l=r+1)
        r=n/(n/l),ans=(ans-(n/l)*((l+r)*(r-l+1)>>1)%mod)%mod;
    return (ans+mod)%mod;
}
inline ll answ2(ll n){
    return n*(n+1)%mod*(n<<1|1)%mod*3323403%mod;
}
signed main(){
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    if (n>m) n^=m,m^=n,n^=m;
    ans=answ1(n)*answ1(m)%mod;
    for (rr ll l=1,r;l<=n;l=r+1){
        rr ll fir,sec,thi;
        r=min(n/(n/l),m/(m/l));
        fir=n*m%mod*(r-l+1)%mod;
        sec=(n/l)*(m/l)%mod*(answ2(r)-answ2(l-1)+mod)%mod;
        thi=(n/l*m+m/l*n)%mod*(((l+r)*(r-l+1)>>1)%mod)%mod;
        ans=(ans-fir-sec+thi)%mod;
    }
    return !printf("%lld",(ans+mod)%mod);
}