#整除分块#洛谷 2261 余数之和

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#洛谷 2261 #余数之和

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本文探讨了在给定n和k的情况下，如何高效求解模运算求和问题(k mod 1) + (k mod 2) + … + (k mod n)。通过引入分块思想和整除分块求解技巧，结合等差数列的性质，提供了一种避免超时的优化算法。

题目

给定 $n$ 和 $k$ ，求 $(kmod  1)+(kmod  2)+…+(kmod  n−1)+(kmod  n)(k\mod1)+(k\mod2)+…+(k\mod n-1)+(k\mod n)$

分析

因为 $(kmod  n)=k−⌊k÷n⌋(k\mod n)=k-\lfloor k\div n\rfloor$ ，所以最终答案= $n×k−∑i=1n⌊k÷i⌋×in\times k-\sum_{i=1}^n\lfloor k\div i\rfloor\times i$
因为还是会超时，所以要用一种分块的思想，
设 $g(x)=⌊k÷⌊k÷x⌋⌋g(x)=\lfloor k\div\lfloor k\div x\rfloor\rfloor$ ，那么 $g(x)≥⌊k÷(k÷x)⌋=xg(x)\geq \lfloor k\div(k\div x)\rfloor=x$
且 $⌊k÷g(x)⌋≥⌊k÷(k÷⌊k÷x⌋)⌋=⌊k÷x⌋\lfloor k\div g(x)\rfloor\geq\lfloor k\div(k\div\lfloor k\div x\rfloor)\rfloor=\lfloor k\div x\rfloor$ ，所以 $⌊k÷g(x)⌋=⌊k÷x⌋\lfloor k\div g(x)\rfloor=\lfloor k\div x\rfloor$
那么就可以用整除分块求解
然后用等差数列求答案即可

代码

#include <cstdio>
#include <algorithm>
long long n,k,ans;
int main(){
	scanf("%lld%lld",&n,&k); ans=n*k;
	for (register long long x=1,gx;x<=n;x=gx+1){
		gx=k/x?std::min(k/(k/x),n):n;//有约数为x
		ans-=(k/x)*(x+gx)*(gx-x+1)>>1;//等差数列
	}
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}