#乘法逆元，组合计数#洛谷 1313 codevs 1137 jzoj 3027 计算系数

lemondinosaur

于 2018-07-17 21:27:06 发布

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分类专栏：同余、乘法逆元排列组合文章标签：洛谷 1313 codevs 1137 jzoj 3027 计算系数

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同余、乘法逆元

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本文介绍了一种使用二项式定理来计算给定多项式$(ax+by)^k$中特定项$x^n y^m$系数的方法。通过快速幂运算和乘法逆元技巧，可以在模意义下高效地求解该系数。

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题目

给定一个多项式$ (ax + by)^k$ ，请求出多项式展开后 $x^nym $项的系数。

分析

根据二项式定理，有 $(ax+by)k=∑i=0kCkiaibk−ixiyk−i(ax+by)^k=\sum_{i=0}^kC_k^ia^ib^{k-i}x^iy^{k-i}$ ，所以 $x^ny^m$ 项的系数为 $C_ka^nb^m$ ，然后通过快速幂和乘法逆元求出答案。

代码

#include <cstdio>
#define mod 10007
using namespace std;
typedef long long ll;
ll a,b,k,n,m,ans;
ll ksm(ll x,ll y){
	ll ans=1;
	while (y){
		if (y&1) ans=ans*x%mod;
		x=x*x%mod; y>>=1;
	}
	return ans;
}
ll c(ll n,ll m){
	ll ans=1;
	for (ll i=n-m+1;i<=n;i++) ans=ans*i%mod;
	for (ll i=1;i<=m;i++) ans=ans*ksm(i,mod-2)%mod;
	return ans;
}
int main(){
	scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&a,&b,&k,&n,&m);
	ans=ksm(a,n)*ksm(b,m)%mod*c(k,n)%mod;
	return !printf("%lld",ans);
}