#lucas定理，乘法逆元，中国剩余定理，欧拉定理，组合数#codevs 1830 洛谷 2480 jzoj 1518 古代猪文

题目

求$$g^{{\sum }_{d|n}{C}_n^d}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}999911659$$

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分析

当g是取模的数，答案为0，因为取模的数是质数，所以g，n互质。
由欧拉定理的推论可得
$$g^{{\sum }_{d|n}{C}_n^d}\equiv g^{{\sum }_{d|n}{C}_n^d\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}999911658}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}999911659$$
所以关键就是求出$$\sum _{d|n}{C}_n^d\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}999911658$$，分解999911658的质因数得到
$$9999911658=2\ast 3\ast 4679\ast 35617$$,所以枚举n的约数d，运用lucas定理求组合数$C_n^d$
(lucas定理：$$C_n^m\equiv C_{n\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p}^{m\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p}\ast C_{n/p}^{m/p}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p|1\le m\le n$$)
求出总和后对4个质数取模，最后用中国剩余定理找出答案。

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代码

#include <cstdio>
#define mod 999911659
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll prime[4]={2,3,4679,35617};
ll g,n,sum[4],fact[36001];
ll ksm(ll x,ll y,ll p){
	ll ans=1;
	while (y){
		if (y&1) ans=ans*x%p;
		x=x*x%p; y>>=1;
	}
	return ans;
}
ll c(ll n,ll m,ll p){if (n<m) return 0; else return fact[n]*ksm(fact[n-m]*fact[m],p-2,p)%p;}//乘法逆元计算组合数
ll lucas(ll n,ll m,ll p){if (!m) return 1; else return c(n%p,m%p,p)*lucas(n/p,m/p,p)%p;}
ll getx(){
	ll ans=0; 
	for (int i=0;i<4;i++){
		ll tmp=(mod-1)/prime[i];
		ans=(ans+sum[i]*tmp%(mod-1)*ksm(tmp,prime[i]-2,prime[i])%(mod-1))%(mod-1);//乘法逆元
	}
	return ans;
}
int main(){
	scanf("%lld%lld",&n,&g);
	if (g==mod) return !puts("0");
	for (ll i=0;i<4;i++){
		fact[0]=1;
		for (ll j=1;j<=prime[i];j++) fact[j]=fact[j-1]*j%prime[i];
		for (ll d=1;d*d<=n;d++)
		if (n%d==0){
			sum[i]=(sum[i]+lucas(n,d,prime[i]))%prime[i];//求出总和
			if (d*d==n) continue;
			sum[i]=(sum[i]+lucas(n,n/d,prime[i]))%prime[i];//若不是完全平方数，那么计算相同的总和
		}
	}
	return !printf("%lld",ksm(g,getx(),mod));
}