傅里叶级数的推导

最新推荐文章于 2025-04-28 12:43:44 发布
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分类专栏： 数学
原文链接：https://zhuanlan.zhihu.com/p/41455378
博客围绕傅里叶级数的推导展开，虽未看到具体内容，但推测会涉及相关数学原理与步骤，在信息技术领域，傅里叶级数常用于信号处理等方面，对理解和处理信号有重要意义。

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《数字图像处理》-（3）-1从傅里叶级数到傅里叶变换详细推导以及傅里叶图像的性质
Guopinglu的博客
07-15 3987
1 傅里叶级数到傅里叶变换公式推导 1.1傅里叶级数 傅里叶级数：周期信号都可以分解为有限或无限个正弦波或余弦波的叠加，且这些波的频率都是原始信号频率的整数倍。用傅里叶级数或变换表示的函数特征完全可以通过傅里叶反变换来重建，且不会丢失任何信息。 在详细的公式推导之前，我想先分析一下频域和时域之间的关系： 最前面黑色的线就是所有正弦波叠加而成的总和，也就是越来越接近矩形波的那个图形。而后面依不同颜色排列而成的正弦波就是组合为矩形波的各个分量。这些正弦波按照频率从低到高从前向后排列开来，而每一个波的振幅都
算法基础-傅里叶级数推导
weixin_44180186的博客
09-27 3975
文章目录前言一、傅里叶级数定义1.1 效果示意1.2 数学定义二、理论推导2.1 关系解读(AnA_nAn​,ana_nan​,bnb_nbn​)2.2 表达式验证(A0A_0A0​,ana_nan​,bnb_nbn​)2.2.1 三角函数的正交性2.2.2 表征A0A_0A0​2.2.2 表征ana_nan​,bnb_nbn​2.2.3 表征A0A_0A0​,ana_nan​三、总结 前言 傅里叶级数作为信号处理、概率论、光学等领域中的基石之一，如何完整且深入的理解其对在仪器及信号领域的学习极其重要。
傅里叶（三）：傅里叶变换的推导
weixin_39910711的博客
07-01 8945
1 傅里叶级数的公式（三角函数形式） 2把傅里叶级数转换为指数形式 2.1欧拉公式 欧拉公式： 可以变形为： 虚数i这个概念大家在高中就接触过，但那时我们只知道它是-1的平方根，可是它真正的意义是什么呢? 这里有一条数轴，在数轴上有一个红色的线段，它的长度是 1。当它乘以3的时候，它的长度发生了变化，变成了蓝色的线段，而当它乘以-1的时候，就变成了绿色的线段，或者说线段在数轴上围绕原点旋转了180度。 ...
三大变换与自控（二）傅里叶级数的复数形式推导
Bes1Python的博客
01-14 3657
上一篇文章简单介绍了傅里叶级数，这一篇介绍针对无穷大周期的傅里叶级数取极限，也就是傅里叶变换的计算。 在开始傅里叶变换的推导前，我们先使用欧拉公式把傅里叶级数变成指数形式的，因为指数的积分微分更简单。 关于欧拉公式网上有很多推导视频，如果不想看纯数学推导的同学，可以参考这张图： 这个螺旋前进的轨迹，从侧面看是三角函数，从复数域看是个圆。因此，这个螺旋前进的轨迹从不同方向看，蕴含了不同的信息。把自然底数e，虚数i，π，0,和1紧密地联系了起来，可以说是一个公式就描述了数学世界的底层逻辑，非常简洁优美。 正
傅里叶级数推导过程--通俗易懂，强烈推荐！！！
热门推荐
tiger的专栏
12-01 8万+
【转】傅里叶级数的数学推导(转) 首先，隆重推出傅里叶级数的公式，不过这个东西属于“文物”级别的，诞生于19世纪初，因为傅里叶他老人家生于1768年，死于1830年。 　　但傅里叶级数在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用，这不由得让人肃然起敬。一打开《信号与系统》、《锁相环原理》等书籍，动不动就跳出一个“傅里叶级数”或“傅里叶
[EE261学习笔记] 1.傅里叶级数推导过程
一个球的博客
05-08 9546
傅里叶变换基于一个假设：所有周期函数都表示为多个三角函数的的和 因此，我们可以得到以下式子（方便起见，我们将周期定为1） ∑k=1NAksin(2πkt+φk)∑k=1NAksin⁡(2πkt+φk) \sum_{k=1}^N A_k \sin \left(2 \pi kt + \varphi_k \right) 利用和差角公式，得到 ∑k=1N(Aksin(2πkt)cosφk+A...
（一）傅里叶变换：傅里叶级数推导/Matlab模拟以及Gibbs现象
weixin_72257134的博客
04-28 1343
本系列学习傅里叶变换，会涉及到傅里叶级数推导、傅里叶变换、FFT算法以及几个Matlab实战仿真应用，此篇先从基础的傅里叶级数推导开始。博主写这些首先是出于个人学习记录，所以尽可能地详细，让过程易懂，不过由于本人都是最近学的，所以不能像专业领域大佬那样扩展很多，thx~部分图片来自网络，另外如想更加详细了解推荐大家登陆databookuw.com和Steve Brunton大佬详细学习。敲Latex敲得想似。如上图（来自百度图片）所示，可能大部分理工科的同学都知道傅里叶级数实际上是为了把原函数f(x)使用很
傅立叶级数到傅立叶变换推导与理解
Hello_Ray的博客
12-20 1574
前言 本文记录这几天我所学习的 傅立叶级数 至 傅立叶变换的推导过程，以及阐述在傅立叶变换的过程中，一些参数在数字信号处理过程中所表达的物理意义，帮助自己能够更好的回复。 级数与傅立叶级数 傅立叶变换 离散傅立叶变换 简略说快速傅立叶变化、傅立叶变换关系及应用 代码演示附件 ...
傅里叶级数推导
大AI时代，人性化的信息更加难得可贵
06-04 590
一、傅里叶级数说明 0.定理 任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示。 1.傅里叶级数 傅里叶级数是一种用正弦和余弦函数表示周期性函数的方法 \[f(t)=A_0+\sum_{n=1}^{n}[a_ncos(n\omega t)+b_nsin(n\omega t)] \]系数\(A_0\space a_n \space b_n\) 可以通过函数f(t)在一个周期内...
从傅里叶级数到傅里叶变换的详细推导
10-05
下面我将详细介绍从傅里叶级数到傅里叶变换的推导过程。 首先，傅里叶级数是针对周期性信号的频谱分析工具。一个周期为T的信号，可以表示为一系列正弦和余弦函数的线性组合，其基本表达式为： \[ f(t) = \frac{a_0}...
傅里叶级数与傅里叶变换笔记（数学推导）
qq_40243295的博客
02-26 4438
周期函数转换成傅里叶级数？ 展开的傅里叶级数的每个参数是如何得到的？ 三角函数的正交性
傅里叶级数展开的详细推导和部分证明
ikou的博客
07-28 1万+
正文 傅里叶级数表述为： f(t)=a0+∑k=1∞{akcos⁡(2πkT0t)+bksin⁡(2πkT0t)} f(t) = a_0 + \sum^\infin_{k=1} \left \{ a_k \cos \left( \frac {2\pi k}{T_0}t \right) + b_k \sin \left( \frac{2\pi k}{T_0}t \right)\right \} f(t)=a0​+k=1∑∞​{ak​cos(T0​2πk​t)+bk​sin(T0​2πk​t)} 上式中，T0T
三角形式傅里叶级数详细推导过程
集成电路设计那些事儿
01-28 1万+
对比： 周期信号 ----> 傅里叶级数 非周期信号 ----> 傅里叶变换 本节先引出 周期信号，那自然是 傅里叶级数 特点：信号时域累加，系数 积分，关心的是 系数，后续再引出 指数形式的，二者的关系是 欧拉公式。 我的微信公众号： xiaoshi_IC，小石谈IC，近期已完成了PCB系列，后续后续会逐步完成 IC版图，F...
傅里叶（二）：傅里叶级数的推导
weixin_39910711的博客
07-01 7777
傅里叶分析相关介绍：https://blog.youkuaiyun.com/weixin_39910711/article/details/111370698?spm=1001.2014.3001.5501 1傅里叶级数的公式 其中： 单看那个（1）式，就是把周期函数 f(t) 描述成一个常数系数 a0、及1倍 ω 的sin和cos函数、2倍ω的sin和cos函数等、到n倍ω的sin和cos函数等一系列式子的和，且每项都有不同的系数，即an和bn，至于这些系数，需要用积分来解得，即{2}...
傅里叶级数的数学推导，小白必看！
李肖遥的专栏
02-09 3625
但傅里叶级数在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用，这不由得让人肃然起敬。一打开《信号与系统》、《锁相环原理》等书籍，动不动就跳出一个“傅里...
推导：从傅里叶级数展开到傅里叶变换
越野者的博客
03-08 1万+
说明：本文主要参考资料为奥本海姆的《信号与系统》（第二版），推导过程中融入了少量个人理解。
指数形式的傅里叶级数
Chevy_cxw的博客
12-10 1万+
傅里叶提出的两个重要的观点： 1.周期信号都可以表示为谐波关系的正弦信号的加权和（傅里叶级数） 2.非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示（傅里叶变换） 参考上一篇博客 https://blog.youkuaiyun.com/Chevy_cxw/article/details/110948262 对三角函数形式的傅里叶级数使用欧拉公式 欧拉公式 三角函数形式的傅里叶级数 将欧拉公式代入三角函数形式的傅里叶级数有 令 an 是关于n的偶函数， bn是关于n的奇函数 代入化简 得指数形式的傅里叶级数 由于
傅里叶级数的指数形式的形象化
Better Explained
03-04 4060
复平面上的点作“轮上轮”运动，在实轴的投影。
周期矩阵信号的指数傅立叶级数推导
最新发布
06-17
### 周期矩阵信号的指数傅里叶级数推导 周期矩阵信号可以表示为一系列复指数函数的线性组合，其数学推导基于经典的傅里叶分析理论。以下是关于周期矩阵信号的指数傅立叶级数推导的相关内容。 #### 1. 定义与基本假设 周期矩阵信号 \( \mathbf{X}(t) \) 是一个随时间变化的矩阵信号，满足周期性条件： \[ \mathbf{X}(t + T) = \mathbf{X}(t), \quad \forall t \in \mathbb{R}, \] 其中 \( T \) 是信号的周期[^1]。假设 \( \mathbf{X}(t) \) 的每个元素均为连续且平方可积的函数，则可以将其展开为复指数形式的傅里叶级数。 #### 2. 指数傅里叶级数表达式 周期矩阵信号 \( \mathbf{X}(t) \) 可以用复指数形式的傅里叶级数表示为： \[ \mathbf{X}(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \mathbf{C}_k e^{j k \omega_0 t}, \] 其中 \( \omega_0 = \frac{2\pi}{T} \) 是基波频率，\( \mathbf{C}_k \) 是傅里叶系数矩阵，表示为： \[ \mathbf{C}_k = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} \mathbf{X}(t) e^{-j k \omega_0 t} dt. \] #### 3. 傅里叶系数的计算 傅里叶系数矩阵 \( \mathbf{C}_k \) 的计算涉及对信号 \( \mathbf{X}(t) \) 在一个周期内的积分。具体步骤如下： - 对于每个 \( k \)，将 \( \mathbf{X}(t) \) 的每个元素代入积分公式。 - 计算结果是一个与 \( k \) 相关的复数矩阵。 例如，若 \( \mathbf{X}(t) \) 是一个 \( m \times n \) 的矩阵，则 \( \mathbf{C}_k \) 也是一个 \( m \times n \) 的矩阵，其第 \( (i, j) \) 个元素为： \[ [\mathbf{C}_k]_{i,j} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} X_{i,j}(t) e^{-j k \omega_0 t} dt. \] #### 4. MATLAB 实现示例 以下是一个简单的 MATLAB 示例代码，用于计算周期矩阵信号的傅里叶系数并绘制其频谱： ```matlab syms t; T = 2; % 周期 omega0 = 2*pi/T; % 基波频率 % 定义周期矩阵信号 X_t = [sin(omega0*t), cos(2*omega0*t); ... exp(j*omega0*t), sin(3*omega0*t)]; % 计算傅里叶系数 K = -5:5; % 频率索引范围 C_k = zeros(length(K), size(X_t, 1), size(X_t, 2), 'like', sym(0)); for idx = 1:length(K) k = K(idx); C_k(idx, :, :) = int(X_t .* exp(-j*k*omega0*t), t, 0, T) / T; end % 显示部分傅里叶系数 disp('傅里叶系数矩阵：'); for idx = 1:length(K) fprintf('k = %d:\n', K(idx)); disp(C_k(idx, :, :)); end ``` #### 5. 数学公式的进一步解释 上述推导中使用了以下关键公式： - 指数形式的欧拉公式：\( e^{j\theta} = \cos(\theta) + j\sin(\theta) \)[^2]。 - 正交性关系：对于不同的 \( k \)，复指数函数 \( e^{j k \omega_0 t} \) 在一个周期内是正交的。 #### 6. 应用领域 周期矩阵信号的指数傅里叶级数在信号处理和控制系统中有广泛应用，包括但不限于： - 多通道信号分析。 - 系统状态空间模型的频域表示。 - 周期扰动信号的建模与抑制。 ---
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