傅立叶级数到傅立叶变换推导与理解

前言

在现实世界中，比如有一个较为复杂的函数$f(x)$，直接这个函数$f(x)$，非常复杂，而如果把它变成若干个简单的函数，分别计算这些简单的函数，这样一个复杂的函数就很容易求解。

那么傅里叶变换的含义主要的目的：就是将一个 $f(x)$
函数拆分成若干个$a(x)$子函数之和。比如$f(x)=a_1(x)+a_2(x)+...+a_n(x)$，这里的$a_1(x)$、$a_2(x)$都是一些简单的函数。那么我们也就理解了傅里叶函数的意义，一个复杂的函数很难计算，如果能把它拆分成很多简单的子函数，分别计算子函数，然后再合起来，那么对待复杂的函数也不会害怕了。

所以傅里叶变换会在数字信号处理中会那么大放异彩，主要原因是，傅里叶函数不仅可以将复杂的信号函数$f(x)$拆分成很多子函数，而且这些子函数还有自己明确的物理意义。

级数与傅立叶级数

首先介绍一下级数的作用，如下图来自《高等数学下》，求一个圆的面积，那么采用切割规则的方法，逐渐逼近圆弧，切割次数的越大误差越小。当然你知道求圆的面积公式是啥样子了，然而在现实世界中，我们是没有现成的公式可以使用，就是采用这种逐步逼近的方式进行计算。

圆的面积$S(x)=a_1(x)+a_2(x)+...+a_n(x)$，分成$a_1(x)$，$a_2(x)$，$a_n(x)$面积，这些面积都是规则的面积，可以很容易求出，然后逐步逼近到真实的圆面积。

那么理解了级数的作用后，可能还会讨论级数的收敛性质啥的，然而在工程中我们面对东西不是那么复杂和抽象，所以这个不用讨论。我们在幂级数中结合普通的现实生活，一个函数$f(x)$都是可以展开的，展开式如下：$f(x)=f(x_0)+f^{{}^{\prime }}(x_0)(x-x_0)+...+\frac{1}{n!}{f}^{(n)}(x_0)(x-x_0{)}^n$。

如果觉得把一个函数$f(x)$展开成幂级数这种形式，当然了，我们还可以对一个函数展开成三角函数的形式，那么这种展开形式就是傅里叶级数。傅里叶级数在信号处理里，是一个必不可少的工具，既然是工具那么就不会太难。

比如一个信号$f(x)$展开成$A_0+{\sum }_{n=1}^{\infty }{A}_{n}sin(n\omega t+{\phi }_n)$
，那么对于这种展开，就成为傅里叶级数展开。通过三角变换公式，可以将该式子转为
$f(x)=\frac{a_0}{2}+{\sum }_{n=1}^{\infty }(a_{n}cosnx+b_{n}sinnx)$

值得注意的是信号$f(x)$能够展开成这种形式的话，这个函数必须要是一个周期函数。查看如下图周期函数，是由这些函数
$2sin(x)+0.2sin(10x)+0.1sin(100x)+0.01sin(1000x)$ 组合相加而成的。

上面的讨论，我们知道了一个周期函数$f(x)$能够通过傅里叶级数展开成若干个三角函数组合；还有一个令人兴奋的事情是，通过欧拉公式，可将三角函数转换成复数形式。欧拉公式如：$cos(t)=\frac{e^{it}+e^{-it}}{2}$ 和 $sin(t)=\frac{e^{it}-e^{-it}}{2i}$。

而周期为$l$</