《数字图像处理》-（3）-1从傅里叶级数到傅里叶变换详细推导以及傅里叶图像的性质

1 傅里叶级数到傅里叶变换公式推导

1.1傅里叶级数

傅里叶级数：周期信号都可以分解为有限或无限个正弦波或余弦波的叠加，且这些波的频率都是原始信号频率的整数倍。用傅里叶级数或变换表示的函数特征完全可以通过傅里叶反变换来重建，且不会丢失任何信息。

在详细的公式推导之前，我想先分析一下频域和时域之间的关系：

最前面黑色的线就是所有正弦波叠加而成的总和，也就是越来越接近矩形波的那个图形。而后面依不同颜色排列而成的正弦波就是组合为矩形波的各个分量。这些正弦波按照频率从低到高从前向后排列开来，而每一个波的振幅都是不同的。一定有细心的读者发现了，每两个正弦波之间都还有一条直线，那并不是分割线，而是振幅为0的正弦波！也就是说，为了组成特殊的曲线，有些正弦波成分是不需要的。

我们眼中的世界就像皮影戏的大幕布，幕布的后面有无数的齿轮，大齿轮带动小齿轮，小齿轮再带动更小的。在最外面的小齿轮上有一个小人——那就是我们自己。我们只看到这个小人毫无规律的在幕布前表演，却无法预测他下一步会去哪。而幕布后面的齿轮却永远一直那样不停的旋转，永不停歇。

1.2傅里叶级数的公式推导

通过傅里叶级数的定义，一个周期函数可以表示为








理解：将原始信号和该信号做乘求积分，相当于原始信号在该频率下的三角函数的投影，相当于求出该信号下的相应，求积分相当于求原始信号一个周期内的面积，除以周期得到的是该信号的幅值。 相当于多维信号下求原始信号在该维下的投影。