8、最小最大遗憾分配问题解析

最小最大遗憾分配问题解析

1. 引言

在组合优化领域中，最小最大遗憾分配问题（Minmax Regret Minimum Assignment）是一个重要的研究方向。该问题旨在处理不确定环境下的最优分配问题，其中每条边的权重由一个区间表示。本文将深入探讨该问题的定义、复杂性、相关问题及其求解方法，帮助读者理解其理论基础和实际应用。

2. 问题定义

在给定的二分图 ( G=(V, E) ) 中，每条边 ( e \in E ) 都指定了区间权重 ([w_e, \bar{w}_e])。一个分配是在 ( G ) 中的一个完美匹配，即边的子集 ( B \subseteq E )，其中没有两条边共享一个公共节点，并且 ( G ) 的每个节点都恰好与 ( B ) 的一条边相连。具体来说，分配也可以看作是从 ( V_1 ) 到 ( V_2 ) 的一一映射，其中 ( V ) 可以被划分为两个不相交的集合 ( V_1 ) 和 ( V_2 )，使得 ( |V_1| = |V_2| )。

3. 确定性问题

当所有权重都精确已知时，可以通过著名的匈牙利算法在 ( O(|V|^3) ) 时间内计算出最小总权重的分配。匈牙利算法是一种经典的组合优化算法，其步骤如下：

1. 初始化：将所有边的权重初始化为零。
2. 构造辅助矩阵：根据给定的权重矩阵构造一个辅助矩阵。