9、极小极大遗憾最小 s-t 割问题的探讨

极小极大遗憾最小 s-t 割问题的探讨

1. 引言

极小极大遗憾最小 s-t 割（Minmax Regret Minimum s-t Cut）问题是在不确定环境下优化网络割集的关键问题之一。在许多实际应用中，例如通信网络、电力传输系统和物流配送等领域，网络中的边权重往往是不确定的，需要用区间来表示。本文将详细介绍这一问题的定义、性质、求解方法及其在实际中的应用。

2. 问题定义

设 (G=(V, E)) 是一个给定的无向图，其中 (V) 是节点集合，(E) 是边集合，(s) 和 (t) 是两个特殊的节点，分别称为源和汇。考虑将集合 (V) 划分为两个不相交的子集 (V_1) 和 (V_2)，使得 (s \in V_1) 和 (t \in V_2)。一个 (s-t) 割（简称割）是边的子集 (C \subseteq E)，其中一个端点在 (V_1) 中，另一个在 (V_2) 中。如果图 (G=(V, A)) 是有向的，那么割 (C) 由在 (V_1) 中开始并在 (V_2) 中结束的弧组成，即 (C={(i, j) \in A : i \in V_1, j \in V_2})。

示例问题

图 9.1展示了两个示例问题。在图 9.1a中，我们得到了一个无向图，切割 (C={ {2, t},{3, t},{3, 5},{4, 5}}) 是具有最大遗憾等于 8 的最优鲁棒切割。在图 9.1b中，给定一个有向图，有向切割 (C={(2, t),(3, t),(4,5)}) 是这个图中具有最大遗憾等于 5 的最优鲁棒切割。

3. 简单