1、区间数据的离散优化与极小极大遗憾组合优化问题

区间数据的离散优化与极小极大遗憾组合优化问题

1. 确定性的组合优化问题

在优化领域中，组合优化问题是指在给定的有限集合中找到最佳子集，以满足特定的优化目标。当所有输入参数都精确已知时，这类问题被称为确定性组合优化问题。本文将详细介绍此类问题的定义及其几个著名特例，随后引入极小极大遗憾组合优化问题，讨论如何在不确定性的背景下进行优化。

1.1 确定性的组合优化问题

考虑一个有限的基础集合 ( E={e_1, e_2, \ldots, e_n} )，以及 ( E ) 的子集集合 ( \Phi )，称为可行解集合。每个元素 ( e_i \in E ) 都有一个非负权重 ( w_{e_i} )，表示与 ( e_i ) 相关的某些参数，如成本、长度或时间等。一个确定性的组合优化问题 ( P ) 的目标是找到一个总权重最小的可行解 ( X \in \Phi )。

该问题可以形式化为以下具有线性目标函数的 0-1 规划问题：
[ \text{minimize} \quad \sum_{i=1}^n w_i x_i ]
[ \text{subject to} \quad (x_1, \ldots, x_n) \in {0, 1}^n ]

其中 ( x_i ) 是与元素 ( e_i ) 相关联的二进制变量，( w_i ) 是 ( e_i ) 的权重。可行解的集合 ( \Phi ) 通常通过一些约束条件的紧凑形式来描述。

1.2 特殊版本的问题

以下是几种著名的确定性组合优化问题：

• 最小生成树 (Minimum Spanning T