子集卷积

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本文解析了一道复杂度为O(n^22^n+n2^n)的问题，并通过子集卷积方法将其解决。介绍了子集卷积的基本概念及其变形过程，通过添加一维表示集合大小，列出dp式子进行求解。文章详细解释了如何使用FWT变换来优化计算过程。

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还是之前那个题：
http://codeforces.com/contest/914/problem/G
那个题的复杂度其实可以长这样子：
$O(n^22^n+n2^n)$
只要用子集卷积就好了
子集卷积的定义大概长这样子：
$C_K=\sum_{L\in 2^U} \sum_{R\in 2^U}[L\cup R=K][L\cap R=\emptyset]A_L*B_R$
其实也就是那个题的第一部分
我们怎么处理它呢？
我们可以先进行一步变形，改掉那个交集限制，变成这样子：
$C_K=\sum_{L\in 2^U} \sum_{R\in 2^U}[L\cup R=K][|L|+|R|=|K|]A_L*B_R$
这样子就好看多了，因为把交集变成了加法
现在我们就可以再加一维表示集合大小，列个dp式子：
$dp_{i,S}代表集合为S，大小为i的方案数$
然后就可以dp了
这个东西是一个二维卷积的形式，而且两维互不相关，所以我们可以分开考虑（有相关定理）
首先我们先对每一个i进行FWT，先进行了集合并卷积，然后我们枚举集合大小进行另外一维卷积
然后最后再IFWT回来就好了，过程中要再开一个dp数组，记录答案，不然就是错的
其实主要是代码，自己看看，就是把 $3^n$ 暴力枚举改成了子集卷积

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#define LL long long
using namespace std;
inline int read(){
    int x=0,f=1;char ch=' ';
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48),ch=getchar();
    return x*f;
}
const LL N=1<<17,mod=1e9+7,inv=5e8+4;

inline void FWT_AND(LL *a){
    for(int d=1;d<N;d<<=1)
        for(int i=0;i<N;i+=d<<1)
            for(int j=0;j<d;++j){
                LL x=a[i+j],y=a[i+j+d];
                a[i+j]=(x+y)%mod;
            }
}
inline void IFWT_AND(LL *a){
    for(int d=1;d<N;d<<=1)
        for(int i=0;i<N;i+=d<<1)
            for(int j=0;j<d;++j){
                LL x=a[i+j],y=a[i+j+d];
                a[i+j]=(x-y+mod)%mod;
            }
}
inline void FWT_OR(LL *a){
    for(int d=1;d<N;d<<=1)
        for(int i=0;i<N;i+=d<<1)
            for(int j=0;j<d;++j){
                LL x=a[i+j],y=a[i+j+d];
                a[i+j+d]=(x+y)%mod;
            }
}
inline void IFWT_OR(LL *a){
    for(int d=1;d<N;d<<=1)
        for(int i=0;i<N;i+=d<<1)
            for(int j=0;j<d;++j){
                LL x=a[i+j],y=a[i+j+d];
                a[i+j+d]=(y-x+mod)%mod;
            }
}
inline void FWT_XOR(LL *a){
    for(int d=1;d<N;d<<=1)
        for(int i=0;i<N;i+=d<<1)
            for(int j=0;j<d;++j){
                LL x=a[i+j],y=a[i+j+d];
                a[i+j]=(x+y)%mod;a[i+j+d]=(x-y+mod)%mod;
            }
}
inline void IFWT_XOR(LL *a){
    for(int d=1;d<N;d<<=1)
        for(int i=0;i<N;i+=d<<1)
            for(int j=0;j<d;++j){
                LL x=a[i+j],y=a[i+j+d];
                a[i+j]=(x+y)*inv%mod;a[i+j+d]=(x-y+mod)*inv%mod;
            }
}

LL n,A[N],B[N],C[N],a[N],fib[N];
LL dp[20][N],dp2[20][N],t[N],size[N];
inline void solve(){
    for(int i=0;i<18;++i)FWT_OR(dp[i]);
    for(int i=0;i<18;++i)
        for(int j=0;j<=i;++j)
            for(int k=0;k<N;++k)
                dp2[i][k]=(dp2[i][k]+dp[j][k]*dp[i-j][k])%mod;
    for(int i=0;i<18;++i)IFWT_OR(dp2[i]);
    for(int i=0;i<N;++i)A[i]=(A[i]+dp2[size[i]][i])%mod;
}
int main(){
    fib[1]=1;
    for(int i=2;i<N;++i)fib[i]=(fib[i-1]+fib[i-2])%mod;
    for(int s=0;s<N;++s)
        for(int i=0;i<18;++i)
            if((s>>i)&1)
                ++size[s];

    n=read();
    for(int i=1;i<=n;++i){
        int x=read();
        a[x]++;
    }
    for(int i=0;i<N;++i){
        A[i]=0;
        B[i]=a[i];
        C[i]=a[i];
        dp[size[i]][i]=a[i];
    }
    solve();
    FWT_XOR(C);
    for(int i=0;i<N;++i)C[i]=C[i]*C[i]%mod;
    IFWT_XOR(C);
    for(int i=0;i<N;++i)A[i]=A[i]*fib[i]%mod;
    for(int i=0;i<N;++i)B[i]=B[i]*fib[i]%mod;
    for(int i=0;i<N;++i)C[i]=C[i]*fib[i]%mod;
    FWT_AND(A);
    FWT_AND(B);
    FWT_AND(C);
    for(int i=0;i<N;++i)A[i]=A[i]*B[i]%mod*C[i]%mod;
    IFWT_AND(A);
    LL ans=0;
    for(int i=0;i<17;++i)ans=(ans+A[1<<i])%mod;
    printf("%I64d",ans);
    return 0;
}