29、线性代数中的矩阵操作与特性解读

线性代数中的矩阵操作与特性解读

1. 空间中旋转点

在二维平面中，一组n个点可以用一个(n×2)维的矩阵S来表示。通过乘以合适的矩阵，能实现自然的几何变换。旋转矩阵$R_θ$可以将点绕原点旋转$θ$角度，在二维情况下，其定义为：
$R_θ = \begin{bmatrix}
\cos(θ) & -\sin(θ) \
\sin(θ) & \cos(θ)
\end{bmatrix}$

对于点$(x, y)$，经过旋转后变为：
$\begin{bmatrix}
x’ \
y’
\end{bmatrix} = R_θ\begin{bmatrix}
x \
y
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
x \cos(θ) - y \sin(θ) \
x \sin(θ) + y \cos(θ)
\end{bmatrix}$

当$θ = 180^{\circ} = π$弧度时，$\cos(θ) = -1$，$\sin(θ) = 0$，点变为$(-x, -y)$，即点被旋转到了对角象限。对于(n×2)维的点矩阵S，可以使用转置函数来正确调整矩阵方向，验证$S’ = (R_θS^T)^T$是否能实现预期的旋转操作。

旋转矩阵$R_θ$可以推广到任意维度，并且通过将旋转、缩放和反射矩阵相乘，可以实现任意连续变换序列，从而简洁地描述复杂的操作。

2. 单位矩阵与求逆

在代数结构中，单位操作起着重要作用。在数值加法中，零是单位元素，因为$0 + x = x + 0