线性代数的本质学习

i帽和j帽为基向量，你可以根据变换后的i帽和j帽，就判断出变换后的v。一般情况下，一个任意向量的坐标是（x，y），变换后的这个向量就是x乘以变换后的i帽加上y变换后的j帽，简单运算后你就知道他的坐标了
如果将整个平面旋转再剪切会发生什么，这个新的线性变换被称为前两个独立变换的“复合变换”，我们也能通过追踪i帽和j帽，并用矩阵完全描述这个复合变量假设在一个变换中i帽最终落点是（1，1）将他做完矩阵第一列，类似j帽最终落点是（-1，0）将他作为矩阵的第二列，但他是一个单独做用，而不是两个相继作用的合成。另一个麻烦的方法是现将它左乘旋转矩阵然后将结果在左乘剪切矩阵，但是无论所选向量是什么，结果都应该与复合变换作用的结果完全相同这应该是合理的，这里有个奇怪的事，就是这个乘积需要从右向左读先应用右侧矩阵所描述的变换，然后再应用左侧矩阵所描述的变换，这起源于函数的记号，因为我们将函数写在变量左侧所以在将两个函数复合时，总是要从右向左读
矩阵相乘时，他们的先后顺序影响结果吗？如果先剪切在旋转你会发现这与先旋转再剪切的最终结果不同所以乘积顺序会有影响
矩阵乘法是否有结合律，如果你用变换相继作用的思想去思考矩阵乘积这一性质就变得很平凡，用图像看他们的结果相同，你只是用三个变换用相同的顺序依次作用而已，这是证明矩阵乘法具有结合律的一个实实在在的证明。
设在三维中设x方向的为i帽y方向的为j帽z方向的为k帽。在背景中留下原始坐标轴的副本我们就能观察到三个基向量变换后的位置将变换后三个基向量的坐标记录在一个3×3的矩阵中，变换后的三组坐标就变成了描述这一变换的矩阵的三列，要求某一向量变换后的去向与二维几乎相同，与二维相同的是锁放再相加的过程在变换前后均适用，要找到变换后的位置，要你将他的坐标与矩阵的对应列相乘
由i帽和j帽决定的单位面积，在变换后形成新图形的面积，实际上，你只要知道这个单位正方形面积变化的比例，他就能告诉你其他区域的面积变化比例，注意无论一个方格如何变化，对其他大小的方格来说，都会有相同变化这是由网格线保持平行且等距分布这一事实推断出的。这个特殊的缩放比例，即线性变换改变面积的比例，被称为这个变换的行列式，行列式是允许出现负值的，如果将一张纸翻着过去我们称类似的这样的变换改变了空间的定向，另一种方式是根据i帽和j帽来考虑一开始j在i左边，变换后j在i右边，那么空间定向就发生了改变，这时候行列式为负，但行列式的绝对值依然表示区域面积的缩放比例。用右手定则来描述三维空间如果在变换后你仍然可以这么做，那么定向没有发生改变，行列式为正否则如果在变换后你只能用左手怎么做说明定向发生了改变，行列式为负。

逆矩阵，列空间，秩，零空间 

线性代数能不仅用来描述对空间的操控，还能帮助我们解特定的方程组得到一个标准方程组可以将他转化为线性代数。在这种情况下，有且仅有一个向量（在变换后）与v重合，并且你可以通过逆向进行变换来找到这个向量如同倒带一样，通过跟踪v的动向就能找到向量x，当你逆向进行变换时他实际上对应了另一个线性变换通常被称为“A的逆”记作A逆（-1）如果A是逆时针转换90度，那么A的逆就是顺时针旋转90度的变换。应用A代表的变换，再应用A逆代表的变换，你会会到初始状态。两个变换相继在代数上体现为矩阵乘法，所以A逆的核心性质在于A逆乘以A等于一个“什么都不做”的矩阵，这个什么都不干的变换被称为“恒等变换”他保持i帽和j帽不变，所以他的列就是（1，0）和（0，1）。一旦能找到A的逆你就能在两边同乘A的逆矩阵来求解向量方程，就可以求出向量x，但是当行列式为0时与这个方程组相关的变换将空间压缩到更低的维度上，此时没有逆变换，你不能将一条直线“解压缩”为一个平面，至少这不是一个函数能做的，这样就会要求将一个单独的向量变换为一整条线的向量，但是函数就只能将一个输入变量转换为一个输出。类似的，对于三个方程和三个未知量，如果变换将三维空间压缩为一个平面，甚至是一条直线或一个点，那么他也没有逆变换，它们都对应行列式为零的情况，因为此时所有区域都被压缩到零体积，即便不存在逆变换，解依然可能存在，比如，一个变换将空间压缩为一条直线，要足够幸运，让向量v恰好处于这条直线上，所以说零行列式的情况比其他的更加严格比如一个3×3矩阵，当她将空间压缩为一条直线时，与平面相比，解存在的难度更高了，即使这两种情况下行列式均为零，除了零行列式之外，我们还有特定术语来描述的它们，当变幻的结果为一条直线时，也就是说结果是一维的，我们称这个变换的秩为1，如果变换后的向量落在某个二维平面上，我们称这个变换的秩为2，所以说秩代表着变换后空间的维数，比如说对于2×2的矩阵，他的秩最大为2，意味着基向量仍旧能张成整个二维空间，并且矩阵的行列式不为零，但是对于3×3的矩阵，秩为2意味着空间被压缩了，但是和秩为1的情况相比，压缩并不是那么严重如果一个三维变换的行列式不为零，变换结果仍然充满整个三维空间，那么他的秩为3（总结：我认为如果他的秩最大为n那么他是一个n阶方阵，变换结果能充满整个n维空间，并且矩阵的行列式不为零）

不管是一条直线，一个平面还是三维空间等，所有可能的变换结果的集合被称为矩阵的“列空间”，名字的由来：矩阵的列告诉你基向量变换后的位置，这些变换后的基向量张成的空间就是所有可能的变换结果，换句话说，列空间就是矩阵的列所张成的空间，所以更精确的秩的定义是列空间的维数，当秩达到最大值时，意味着秩与列数相同，我们称之为“满秩”。注意零向量一定会被包含在列空间中因为线性变换必须保持原点位置不变，对于一个满秩变换来说，唯一能在变换后落在原点的就是零向量自身，但是对于一个非满秩的矩阵来说，他将空间压缩到了一个更低的维度上，也就是说会有一系列向量在变换后成为零向量。变换后落在原点的向量的集合被称为矩阵的“零空间”或“核”，变换后一些向量落在零向量上，而“零空间”正是这些向量所构成的空间。对于线性方程组来说，当向量v恰好为零向量时，零空间给出的就是这个向量方程所有可能的解

 非方阵

同之前一样，如果网格线保持平行且等距分布，并且原点映射为自身，就称它是线性的。二维向量与三维向量它们生活在没有任何关联的空间中，用矩阵代表这样一个变换则和之前的方法相同，找到每一个基向量变换后的位置，然后把变换后的坐标作为矩阵的列，设这意味着这个变换的矩阵是三行两列的用术语来说，这是3×2矩阵，这个矩阵的列空间是三维空间中一个过原点的二维平面，但是这个矩阵仍然是满秩的因为列空间的维数与输入空间的维数相同，所以这个3×2矩阵的几何意义就是将二维空间映射到三维空间上因为矩阵有两列表明输入空间有两个基向量，有三行表明每个基向量在变换后都用三个独立的坐标来描述

点积

如果你有两个维数相同的向量或是两个长度相同的数组，求它们的点积，就是将相应坐标配对求出每一对坐标的乘积然后在将结果相加这个计算有几何解释要求两个向量v和w的点积，想象将向量w朝着过原点和向量v终点的直线上投影，将投影的长度与向量v的长度相乘，你就得到了它们的点积v点乘w，除非w的投影与v的方向相反，这种情况下点积为负值，当他们相互垂直时，意味着一个向量在另一个向量上的投影为零向量他们的点积为零，你可以将v投影到w上，将v的投影长度与w的长度相乘，然后得到相同的结果，为什么对应坐标相乘并将结果相加和投影有所联系，我们要挖掘更深层次的东西，他通常被称为“对偶性”，在深入之前，我需要花点时间讨论多维空间到一维空间（数轴）的线性变换，高维空间中的变换需要满足一些严格的性质才会具有线性，如果一条线上的一些点等距分布那么这个变换就是线性的否则不是，在这条线上的向量形成矩阵时只有一行且每列只是一个单独的数。启发：在任何时候看到一个线性变换，他的输出空间是一维数轴，无论他如何定义，空间中会存在唯一的向量v与之相关，就这意义而言，应用变换和向量v做点积是一样的，这也被称为“对偶性”，对偶性是两种数学事物之间自然而又出乎意料的对应关系。你可以说一个向量的对偶是由他定义的线性变换，一个多维空间到一维空间的线性变换的对偶是多维空间中的某一个特定向量

 大括号里面如果是横着的那他就通过矩阵算法，如果是竖着的就用点积。结果一样

叉积

如果v在w的右侧那么v叉乘w为正，并且值等于平行四边形的面积，但如果v在w的左侧那结果为负，即面积的相反数用来记住顺序的方法是，当你按序求两个基向量的叉积，即i帽叉乘j帽结果应该是正的，因为i帽在j帽的右侧，实际上，基向量的顺序就是定向的基础。如何直接计算面积，当得到v和w的坐标后直接计算行列式真正的叉积是通过两个三维向量生成一个新的三维向量，我们还是要考虑这两个向量围成的平行四边形，而他的面积就是新的三维向量的长度，而这个向量的方向与平行四边形（所在的面）垂直（会有两个结果）这时候要用到右手定则大拇指的方向就是叉积的方向
每当你看到一个从空间到数轴的线性变换，你都能找到一个向量，被称为这个变换的对偶向量，使得应用线性变换和与对偶向量点乘等价。定义一个从三维空间到数轴的特定线性变换，并且他是根据向量v和w来定义的，然后当我们将这个变换与三维空间中的对偶向量关联时，这个对偶向量就会是v和w的叉积，之所以这么做是因为理解这个变换，能够解释清楚叉积的计算过程和几何含义之间的关系，你们都知道这不是三维向量的叉积，真正的三维向量的叉积接收两个向量并输出一个向量并不是接收三个向量并输出一个数v和w保持不变，那么我们就有一个从三维空间到数轴的函数了，你输入一个向量然后通过矩阵的行列式得到一个数，这个向量的第一列是（x，y，z）其余两列是向量v和w的坐标，几何意义是，对于任一输入的向量（x，y，z）你都考虑由他和v与w确定的图形，得到他的体积，然后根据定向确定符号。这个函数的一个至关重要的性质在于他是线性的，可以引进对偶思想 ，可以通过矩阵乘法来描述这个函数，要找一个特殊的三维向量称之为p把i帽j帽和k帽放进矩阵第一列，然后合并前面的系数没有区别 ，不过是传递一种信号告诉我们应该吧这些系数解读为一个向量的坐标，从几何角度看要求v和w确定的平行四边形的面积乘以向量（x，y，z）在垂于平行四边形方向上的分量（高）得到体积左边为对偶向量点乘

基变换

i帽和j帽被称为我们这个标准坐标系的基向量，我们要讨论另一组基向量，对于不同的基向量在描述同一向量时结果不同。我们如何在不同坐标系之间进行转换，从我们的角度来看b1，b2有坐标，对于所找向量＝-2b1＋2b2，计算后得到-4，1的向量，她所认为的向量（-1，2），这也就是用某个向量的特定坐标与他的基向量数乘，这就是矩阵向量乘法。相反方向怎么办，要取这个矩阵的逆，这是一个新的变换，在这里，将他的基向量作为列的基变换矩阵，设置某一向量在她的坐标系下如何表示，我们用这个基变换矩阵的逆乘以这个向量。当考虑某个线性变换，譬如逆时针旋转90度，用矩阵代表他时将变化后的i帽和j帽竖着放进矩阵中，这与基向量的选择密切相关，这是在我们坐标系中记录的他们的去向。如果要求基向量改变后的结果，先从他描述的任一向量出发然后乘以他的基变换矩阵（基向量矩阵）转换为我们的语言描述然后再左乘线性变换矩阵，在左乘基变换矩阵的逆学到了M为一种你所见的变换，两侧矩阵代表转移作用，也就是视角上的变换

特征向量与特征值

在图表中这两条直线上的向量，在变换后仍然留在改直线上，只是倍数发生改变，这些特殊向量就被称为“特征向量”，每个特征向量都有一个所属值称为“特征值”即衡量特征向量在变换中拉伸或压缩比例的因子。计算特征向量与特征值求解矩阵A的特征向量和特征值，就是求v和入I是单位矩阵，转换寻找A-入I等于0如果V等于0结果恒成立。要求入让变换后的基向量矩阵的对角元减去入（这样减去行列式）当这个行列式为零时入才是特征值，就能求出所以可能的特征值，要求出某一特征值的特征向量，假如入等于2求解会发现所有解全部落在（-1，1）张成的对角线上，二维线性变换不一定有特征向量，例将图进行90度旋转，他没有特征向量因为每个向量都发生了改变
除了对角元以外其他元素均为0的矩阵被称为对角矩阵，姐堵他的方法是，所有基向量都是特征向量，矩阵的对角元是它们所属的特征值。一组基向量（同样是特征向量）构成的集合被称为一组“特征基”应用到上面所学到的数学上的转移作用，不是所有矩阵都能对角

抽象向量空间

行列式是一个变换对面积的缩放比例，特征变量是变换中留在他所张成的空间中的向量，他们与所选的坐标系无关。一种既不是箭头也不是数字，但是同样具有向量特性的东西函数。对象量所进行的操作是相加和数乘两种，同样适用于函数，注意线性变换与线性算子一样，线性的性质有可加性和成比例性这个性质求导也会有。只要你处理的对象集具有合理的数乘和相加概念，不管是空间中的箭头，一组数，函数的集合等等，线性代数中所有关于向量，线性变换和其他概念都应该适用于它。箭头，一组数，函数他们构成的集合被称为“向量空间”