27、图的支配着色与乘积图的支配色数研究

图的支配着色与乘积图的支配色数研究

1. 引言

在图论领域，我们主要研究有限、无向的简单图 (G=(V, E))。对于图中的顶点 (v)，其开邻域 (N(v) = {u \in V : uv \in E})，闭邻域 (N[v] = N(v) \cup {v})。若 (S \subseteq V(G))，则 (S) 的开邻域 (N(S) = \bigcup_{v \in S} N(v))，闭邻域 (N[S] = \bigcup_{v \in S} N[v])。

图的支配集和全支配集是重要概念。若 (V - S)（全支配集对应 (V)）中的每个顶点都与 (S) 中的某个顶点相邻，则 (S) 分别为支配集和全支配集。支配数 (\gamma(G)) 和全支配数 (\gamma_t(G)) 分别是支配集和全支配集的最小基数，对应的最小基数集合分别称为 (\gamma) - 集和 (\gamma_t) - 集。图 (G) 与 (K_1) 的冠积 (G \circ K_1) 是在 (G) 的每个顶点 (v) 上添加一个新顶点 (v’) 并使 (v) 与 (v’) 相邻得到的图。

图的正常顶点着色是为图的顶点分配颜色，使得相邻顶点颜色不同，色数 (\chi(G)) 是正常着色所需的最少颜色数。而支配着色是一种特殊的正常着色，它要求图 (G) 的每个顶点的闭邻域都包含一个颜色类。支配色数 (\chi_d(G)) 是支配着色所需的最少颜色数。

支配色数有如下性质：
- 对于图 (G)，有 (\max {\chi(G), \gamma(G)} \leq \chi_d(G) \leq \chi(G) + \gamma(G))。
- 对于二分图 (G)，(\chi_